8 週 · 45 節，從 S1 走到 DSE

這節課沒有闖關，是「學習工具設置」。把工具備好，後面 38 節才有累積效果。

你診斷卷的有向數題拿了滿分,這節是「強項加固」。把正負數變成線索方向、嫌疑分數和真假線索結算的直覺。

這節課直接補你診斷卷的「3.6 cm × 50000 = 180 km」那個錯（正確是 1.8 km）。100 000 cm = 1 km，這個換算率必須印在腦裡。

這是整個 HKDSE 數學的最底層磚塊。聽起來簡單，但你之前在診斷卷上的「3x − 4x = −7x」就是這裡的陷阱。我們從一個水果故事開始。

把上一節的「展開」反過來做。展開是「派發」，因式分解是「收回」。

把 <span class="formula">x² + bx + c</span> 拆成 <span class="formula">(x + p)(x + q)</span>。這是 HKDSE CP 二次方程、函數、不等式的入口。

兩條極常用的特殊公式，看到形狀對的式子就能秒拆。

把因式分解（W1D2-D4）的能力用到分式上。原則：上下都因式分解，再消公因式。

3 條核心規則。看到 a^m × a^n 不要展開，直接套規則。

a⁰ = 1 不是規定，是「除過頭」推出來的。a⁻ⁿ = 1/aⁿ 也一樣。理解了就不會背錯。

√50 為什麼可以寫成 5√2？根式為什麼能加減？這節全講清楚。

給你 v = u + at，要你「以 t 為主項」。把 t 解出來，其他全部當「已知」。

兩種解法：因式分解法（W1D3 直接用）、開方法（特殊形式）。HKDSE CP 的入口。

斜率 = 上升 ÷ 前進 = 一座山有多陡。看到公式 (y₂−y₁)/(x₂−x₁) 不要怕，就是「高度差 ÷ 水平差」。

給你一個點和斜率，或兩個點，寫出直線方程 y = mx + c。

中點 = 兩個 x 平均、兩個 y 平均。距離 = 勾股定理在坐標平面上的應用。

兩條核心判斷規則 + 兩種截距。要記熟。

電話費、車費、健身房月費 — 都是「固定費 + 變動費」型公式。HKDSE 卷常考。

P(x) = x³ − 2x² + ax + 6 是甚麼意思？P(2) = 0 又是甚麼？這節全弄清楚。

3 種角名要分清：同位角、內錯角、同旁內角。配上三角形角和 180°，幾何證明就能起步。

兩條核心：等腰底角相等、直角三角形 a² + b² = c²。要記熟常用勾股組合。

相似 = 形狀相同、大小不同。對應角相等、對應邊成比例。

全等 = 完全一樣（形狀 + 大小都相同）。5 個簡寫：SSS、SAS、ASA、AAS、RHS。

兩條公式撐起所有題：內角和 = 180(n−2)°；外角和永遠 = 360°。

三種四邊形的性質要分清。它們是「親戚關係」：菱形和矩形都是特殊的平行四邊形。

扇形 = 圓的「一塊餅」。圓心角 / 360° = 扇形佔整個圓的比例。

柱體公式都是「底面積 × 高」。表面積 = 2 個底 + 側面（攤平就是長方形）。

5 條公式必背：圓錐 V、側面、總表面；球 V、表面。其中錐體 = 柱體的 1/3。

最常錯：「平均速度 ≠ (v₁+v₂)/2」。永遠是「總距離 ÷ 總時間」。

兩種關係：正比 y = kx（一起變大）；反比 y = k/x（一個大一個小）。

SOH-CAH-TOA 口訣 + 特殊角度（30°、45°、60°）+ 仰角應用。HKDSE 三角學的入門。

分組數據的 3 種「中心」：組中值、平均（估計）、眾數組。HKDSE 卷常考。

兩種統計呈現方式：莖葉圖（保留原數據）、累積頻率（看分布）。

P = 有利結果 / 總結果。「至少一個」題型用補事件法（1 − 沒有的概率）。

不放回 = 第二次抽時，總數和被抽走顏色都 −1。HKDSE 卷固定考點。

最後一節。把 6 週的錯題梳理清楚，然後決定下一步。

2024 P1 第 1 題就考這個。原理跟小學分數加減一模一樣 — 先通分、再算分子。我們從純數字熱身，一步步換成字母。

W1D3 只教首項係數 = 1。HKDSE 真題（如 2024 Q3）首項是 6r²！這節用「拆中間項 + 十字相乘」把它補上。

這節補兩塊拼圖 — 聯變（z 隨 x² 正變且隨 y 反變，P2 必有）＋ 比例代數操作（給比例求比例，P1 常考）。共同武器是「設一個參數」。

這節補兩塊拼圖 — 統計的「數據有多散」（分佈域、IQR）＋ 立體的「放大規律」（體積比 k³）。像上課一樣，每個概念都先看圖、再講道理、再一起算。

2017 P1 Q6、2024 P2 Q24 都考過。三種變換（旋轉、反射、平移）各有口訣，配坐標圖看懂就不會錯。

前面一直在用方程，卻沒正式教過怎麼解。這節用「天平」把解方程從零講透 — 移項、去分母、應用題 4 步法。

解法跟方程幾乎一樣，但多一條鐵律 — ×÷ 負數時不等號要反向。配數線表示解集，BOSS 仿 2024 P1 真題求最小整數。

兩個未知數要兩條方程 — 幾何上就是兩條直線的交點。三種解法都講透，BOSS 仿 2024 P2 應用題。

四捨五入、有效數字、科學記數法、上下限四件工具。HKDSE P2 常考（如 √333 多種精確度），這節一次補齊。

一條主線 —— 增加 r% 就 ×(1+r%)。從基本增減，到單利複利，到盈虧標價（仿 2024 P1 真題）。

條形圖、折線圖、圓形圖、直方圖怎麼讀怎麼畫，加上識破誤導性圖表。這是初中地基的最後一塊。

高中第一課。含 x² 的方程怎麼解？這節用「零積律」+ 三件因式分解武器（提公因、平方差、十字相乘），把最直觀的一招從零講透、配滿圖例。

上節因式法很快，但很多方程分解不出整數因式。這節學兩招「萬能解法」 — 配方法 + 二次公式，再也不怕分解不了。

有時不必把方程解出來，只想知道「它有沒有實根、有幾個」。判別式 Δ = b² − 4ac 就是那只眼睛。配抛物線圖，從零講透。

不用真把根解出來，光看係數就知道兩根「加起來多少、乘起來多少」。這節把和積公式、對稱式、造方程從零講透 — DSE 乙部高頻。

前四節都在「解」方程，這節學最難的一步 — 把文字題翻成方程。面積、連續整數、勾股、行程，全套「六步法」從零講透，每種題型配一張圖。

W9D3 說「Δ < 0 沒有實根」—— 那些根去哪了？這節補上 √負數 的家：虛數 i 與複數 a+bi，只學最淺的四則運算。最後一關串起整週二次方程。

高中數學最核心的概念 — 函數。用「機器」「映射」「讀圖」把 f(x)、定義域、值域從零講透，配滿圖例。

上節學了「函數」；二次函數 y = ax² + bx + c 的圖像是一條拋物線。這節從零教你看懂它五個關鍵特徵 —— 開口、對稱軸、頂點、y 截距、x 截距，配滿抛物線圖例。

不靠畫圖，用「配方法」把任何二次函數改寫成頂點式 y = a(x − h)² + k，一眼讀出頂點 (h, k) 與最大／最小值。配滿幾何圖例，從零講透。

把「畫圖」和「解方程」連起來 —— 解 ax² + bx + c = 0，就是找拋物線 y = ax² + bx + c 跟 x 軸的交點。配滿圖例，閉環判別式。

「怎樣面積最大？利潤最高？飛得最高？」現實裡的「最優」問題，全都是求二次函數的頂點。這節用圍欄、利潤、拋射三類實圖，把「建模 → 求頂點 → 讀答案」從零講透。

學會一種基本圖像，很多複雜圖像都是它平移／伸縮／翻轉來的，不用重畫。配滿圖例，並串起本週頂點式 —— W10 收官，含本週 BOSS 總關卡。

當一條多項式分解不出來，怎麼除？用你小學就會的「長除法」，原班人馬搬到代數 — 除、乘、減、落，一步步來。

上節長除法能求餘數，但慢。這節給你一招「秒殺」捷徑 —— 除以 (x − a) 的餘數，就等於把 x = a 代進去算。代一個數，餘數立刻知道。

餘式定理裡最有用的特例 —— 餘數 = 0。它在告訴你「找到一個因式了」。這就是分解三次式的鑰匙：試根 → 得一次因式 → 除 → 再分解。配滿圖例，零基礎也學得會。

HCF / LCM 你小學在數字上早就學過（12 和 18）。多項式一模一樣 —— 只是把「質因數」換成「因式」。先分解，再比因式，秒懂。

分子分母都是多項式的「分數」—— 運算規則和你小學學的分數一模一樣，關鍵只有一句：先因式分解，再約分／通分。配滿圖例從零講透。

本週五件工具合起來用 — 給一個「餘數」或「因式」條件，倒推未知系數 a、b，再分解、判根。這是 DSE 多項式題的標準套路，最後一關打通全週。

初中你會解兩條直線的聯立；高中要解「直線 + 拋物線」。核心一句話 — 聯立方程的解，就是兩個圖像的交點。配滿圖例看懂。

上節用畫圖找交點，準是準，但讀坐標只能靠估。這節改用代數法精確算 — 核心一招「代入消元」：把一個變量代掉，化成一元二次，解完再代回。配滿圖例。

未知數跑到分母上的方程 —— 解法只有一招：兩邊同乘公分母，化成二次方程來解。但天底下最坑的一步在最後 —— 必須驗根去增根。配滿圖例從零講透。

你已經會解聯立、分式、二次方程了；這節把它們用到現實 —— 行程、工程、面積、數字、增長。難點不在計算，而在「把一段文字翻成一條方程」。用六步法 + 滿圖例，把建模這件事講透。

現實裡兩個量常「一個變、另一個跟著變」—— 成正比（正變）或成反比（反變）。這是函數關係最簡單的兩類。用比值、乘積、圖像三招從零講透，配滿圖例。

變分的最後兩種組合 — 聯變（一個量隨多個量變）、部分變（固定部分 ＋ 變化部分）。學完用本週 BOSS 把 W12 四大主題一次打通。配滿圖例。

初中你會 2³ = 8；高中要把指數推廣到 0、負數、分數 —— 2⁰、2⁻¹、4^(1/2) 都是什麼？用「指數階梯」一步步講透，配滿圖例。

上節把指數玩熟了；這節學它的「逆運算」—— 對數。已知底和結果，反求指數。logₐb = c 到底在問什麼？用滿滿圖例把定義講透。

對數最厲害的地方 —— 它把「難的運算降一級」：乘變加、除變減、冪變乘。三條定律 + 一條換底公式，配滿圖例一次講透，讓你用 log 把複雜運算化簡求值。

把指數 y = aˣ 和對數 y = logₐx 畫成圖，性質一眼看清 —— 過哪點、升還是降、定義域值域、為何是「鏡像兄弟」，配滿圖例從零講透。

未知數躲在指數上（2ˣ = 8）或躲在對數裡（log x = 1）怎麼解？四招拆穿它 —— 同底比指數、化同底、換元變二次、對數化指數，外加一條鐵律：解完必驗真數。配滿圖例。

對數不只是符號 —— 地震、聲音、酸鹼這些「跨好幾個數量級」的量都用它來度量，因為它把 ×10 的暴漲壓成 +1 的台階。本節講透三大應用，再以本週 BOSS 總關卡收官。

3、5、7、9… 每次加同一個數 —— 這就是等差數列。用「台階」把公差與通項公式 Tₙ = a + (n−1)d 從零講透，配滿圖例。

小高斯 8 歲秒算 1+2+…+100 = 5050。把首尾配對，每對都一樣大 —— 等差求和公式 Sₙ = n(a+l)/2 就這樣誕生。配滿圖例，從零講透。

2、4、8、16… 每次乘同一個數 —— 這就是等比數列。等差是「加」的台階，等比是「乘」的暴漲。把公比 r 與通項 Tₙ = arⁿ⁻¹ 從零講透，配滿圖例。

2+4+8+16+32 加起來是多少？等比求和有一個漂亮的推導「錯位相減」，把中間項全部消掉，得到 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)。從零講透，配滿圖例。

1/2 + 1/4 + 1/8 + … 無限加下去，竟然剛好等於 1。當公比 |r| < 1，無限項的和有個有限的「極限和」S∞ = a/(1−r)。把收斂從零講透，配滿圖例。

存錢（複利）、堆磚、折紙都是數列！先認出「這是等差還是等比」，再套通項或求和。本節收官並挑戰 W14 全週 BOSS 總關卡。

初中你會解一個不等式；高中要把兩個不等式用「和」或「或」連起來，並在數線上表示。用「重疊區」把交集、並集講透。

上節解一次不等式；這節解二次不等式 ax² + bx + c &gt; 0 / &lt; 0。最直觀的辦法 —— 看拋物線哪一段在 x 軸上方（y 為正）、哪一段在下方（y 為負）。

上一節用拋物線「看圖」解不等式；這一節不畫圖也能解 —— 因式分解後，用「符號表」純代數判斷每一段的正負，取符合方向的段。

前面在數線上解不等式；現在升到平面 —— 二元一次不等式的解是「一整片區域」（半平面）。先畫界線，再用測試點決定取哪一半。

上節一個不等式畫出一個「半平面」；這節把幾個不等式聯立，它們的公共重疊區就是「可行域」。用「重疊＝交集」把它講透，再學求頂點。

在可行域內，讓某個量 P = ax + by 最大或最小 —— 這就是線性規劃。核心一句話：最優值一定在可行域的「頂點（角點）」取得，用角點法四步就能秒解。本節為 W15 收官，含整週 BOSS 總關卡。

圓是 DSE 幾何最高頻的主題。第一塊 — 弦與弧，尤其「圓心到弦的垂線平分弦」。配勾股，求弦長與半徑。配滿圓形圖例。

上節學「弦」，這節學圓裡的「角」。最核心的一條定理 —— 同一段弧所對的圓心角，是圓周角的 2 倍。配滿圓形圖例，從零學懂。

圓周角定理的兩個超常用推論。半圓（直徑）所對的圓周角恆為直角；同一段弧上的圓周角全都相等。配滿圓形圖例，每題答案都是角度。

四個頂點都在同一個圓上的四邊形，藏著兩條超好用的角度性質：一組對角加起來剛好 180°，而且外角等於內對角。反過來用，還能判斷四點是否共圓。配滿圓形圖例。

直線和圓「只碰一點」就是切線。本節三條 DSE 必考性質 — 切線⊥半徑、圓外一點兩切線段等長、弦切角 = 內錯弓形圓周角。配滿圓形圖例，每條都用算例打通。

圓的證明題（卷一常考）難在「找對用哪條性質」。訣竅 — 把條件分成明示／暗示／隱藏三類，逐個挖出來，再用角度追蹤一步步推到結論。本節收官，含 W16 本週 BOSS 總關卡。配滿圓形圖例。

坐標幾何把代數和圖形連起來。這節把直線的斜率、傾角，和斜截式/點斜式/兩點式三種寫法講透，為圓方程打底。配滿坐標圖例。

上節學會寫「一條」直線方程，這節看「兩條」直線怎麼擺。平行靠斜率相等、垂直靠斜率乘積 −1、相交就聯立求交點。配滿坐標圖例，呼應 W12 聯立。

直線講完，輪到圓。圓就是「到圓心距離都等於 r 的點」，用距離公式一寫就得到圓方程。這節把標準式 (x−a)²+(y−b)²=r²、一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0，和「配方法還原」講透，一眼讀出圓心半徑。配滿坐標圖例。

上節學會「讀」圓方程；這節反過來 —— 給圓心、半徑、圓上一點或直徑兩端，把圓方程「求」出來，再用距離公式判斷一個點落在圓內、圓上還是圓外。配滿坐標圖例。

把直線和圓放一起，它們相交、相切還是相離？兩種判法 —— 代數法（代入求 Δ）和幾何法（圓心到直線距離 d 比 r）。再用相切條件 d = r 求參數、用「切線⊥半徑」求切線方程。配滿坐標圖例。

軌跡就是「滿足某個條件的所有點」拼成的圖形。到定點等距是圓、到兩點等距是垂直平分線、到一條線等距是平行線 —— 把條件翻成方程就求出來了。本節講透軌跡，再以本週 BOSS 總關卡收官。配滿坐標圖例。

初中三角只在直角三角形（0–90°）裡。高中用「單位圓」把角推廣到任意角，並用 ASTC 判斷正負號。配滿單位圓圖例。

上節會用 ASTC 判任意角符號了。這節用「單位圓對稱」把任意角的三角值化成 0°–90° 銳角的，方便計算。配滿對稱圖例。

把任意角的三角值畫成圖，sin、cos 是上下起伏的「波」，tan 不一樣。學會讀出週期、振幅、值域與極值位置。配滿波形圖例。

解三角方程 = 在 0°–360° 裡找出所有讓等式成立的角。難點是一個方程常有「多個」解 —— 用參考角 + ASTC 把全部象限的解找齊，必要時先換元化成二次。

初中只會算直角三角形。這節學「任意三角形」的面積公式 ½ab sinC 和正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC，並小心 SSA 歧義情形。配滿三角形圖例。

正弦定理需要「邊對角」配對；只知三邊或兩邊夾角時，改用餘弦定理。它是勾股定理的推廣。再學希羅公式由三邊求面積，最後挑戰 W18 全週 BOSS。配滿三角形圖例。

立體三角是 DSE 卷一壓軸常客，難在把 3D 拆成 2D 直角三角形。這節從「影子」打基礎 — 投影、斜線、高三者的關係，配勾股求長度。配滿立體圖例。

上節學會算立體的「長度」了，這節更進一步 — 求一條斜線和一個平面的「夾角」。訣竅還是投影：線與面的夾角 = 線與它的投影之間的角。配滿立體圖例，全部用特殊角（30°/45°/60°）。

上節求「線和面」的角，這節升級到「面和面」的角 —— 二面角。難點只有一個：怎麼把它畫成一個能算的直角三角形。教你「在棱上取點、兩面各作垂線」這招萬能找角法，配滿立體圖例。

立體題裡最難的一步往往是「找垂直」。三垂線定理一句話搞定 — 射影垂直就推出斜線垂直，還能把「點到直線距離」化成勾股 √(高²+投影²)。配滿立體圖例。

立體題看著嚇人，但有固定四步就能拆 — 畫立體圖、找含未知量的直角三角形、把它單獨重畫、再用勾股或三角比求解。長方體、角錐、棱柱通通照辦。配滿立體圖例。

本週收官！把五件工具（投影、線面角、二面角、三垂線、四步法）合起來，正面攻 DSE 卷一立體壓軸（Q17–19）。配滿立體圖例，最後挑戰本週 BOSS 總關卡。

不用一個個數，就知道有多少種方法。這節用「搭配衣服」「選路徑」把兩條基本計數法則 — 分步用乘、分類用加 — 講透。配滿圖例。

從一堆不同的東西裡，取幾個「排成一排」—— 順序很重要，ABC 和 BCA 算不同。這節用「填位置法」「捆綁法」把排列數 nPr 與階乘 n! 講透，是 DSE 排列組合的核心招式。配滿圖例。

排列看「順序」，組合只看「選了誰」。這節用「做披薩」「選委員會」把組合講透：選 2 個 = 只挑出一組、不分先後。並導出 nCr = nPr ÷ r! 的由來，配滿圖例。

事件就是「結果的集合」。先用韋恩圖學會並集 A∪B、交集 A∩B、補集 A'，再把它們變成概率加法定律 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)；互斥直接相加，互補概率和為 1。配滿圖例。

上節學「或」用加法；這節學「且」（A 且 B 都發生）用乘法。樹狀圖是神器：沿樹枝相乘、跨結果相加。再分清「放回（獨立）」和「不放回（條件）」。配滿圖例。

把整週學的計數、排列、組合，全部接到「概率」上。古典概率 = 有利結果數 ÷ 總結果數 —— 上下兩個數都用排列或組合數出來。配滿圖例，最後一節含本週總關卡。

最後一週！光知道「中間在哪」（平均、中位數）不夠，還要知道「數據散得有多開」。這節用分佈域和四分位距把「離差」講透，配滿圖例。

承接上節的四分位數 —— 把五個關鍵數（最小、Q₁、中位數、Q₃、最大）畫成一個「箱 + 兩根鬚」，一眼看穿數據的分佈、集中度與偏態。配滿圖例。

最重要的離差度量。標準差就是「每個數離平均大約多遠」的典型距離；平方再開方，是為了把單位還原回去。這節把離差、方差、標準差一步步算給你看，配滿圖例。

上一節學會了標準差。這節學兩件 DSE 必考的事：怎樣用標準差「比較」兩組數誰更穩定；以及對每個數據做「加一個數 / 乘一個數」之後，平均和標準差會怎麼變 —— 配滿圖例。

不同科目、不同試卷的分數不能直接比！標準分 z 把任何分數翻譯成「離自己那組均值幾個標準差」，於是能跨組比較。再配上鐘形的正態分佈和 68–95–99.7 法則，估比例一眼看穿。

整套課程最後一節！前面學的是「怎麼算統計量」，這節學「怎麼<u>正確用</u>統計、怎麼<u>識破</u>統計騙局」—— 學完就畢業。配滿圖例，帶你看穿截斷縱軸、相關≠因果、誇大圖。