第 12 週 · 聯立方程與變分 · 第 2 節 代數法解聯立方程（代入消元） 上節用畫圖找交點，準是準，但讀坐標只能靠估。這節改用代數法精確算 — 核心一招「代入消元」：把一個變量代掉，化成一元二次，解完再代回。配滿圖例。 ▶ 第一關： 代入消元三步（解出 → 代入 → 代回） line: y = x+2solve one var→put into y = x²eliminate y→x² − x − 2 = 0quadratic in xsolve x → put x back → get ysubstitute · eliminate · solve · back-substitute y = x + 2y = x²both equal yx² = x + 2← y is gonex² − x − 2 = 0(x − 2)(x + 1) = 0x = 2 or x = −1 x = 2→y = 2² = 4→point (2, 4)back-substitute x to recover y ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第二關： 兩組解 ↔ 兩交點，及「先變形再代入」 y=x²y=x+2(2,4)x=2(−1,1)x=−1two rootsx = 2, −1↕two points graphical (last lesson)read crossing point≈ (2, 4)eyeballedalgebraic (this lesson)x² − x − 2 = 0= exactly (2, 4)precisesame answer, two roads x + y = 6→y = 6 − x→x² = 6 − xrearrange to y = … first, then substitute ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第三關： 相切（重根）與無解（Δ < 0）的代數版 y=x²y=2x−1(1,1)just touches → 1 pointx² − 2x + 1 = 0(x − 1)² = 0x = 1 (double)Δ = 0 y=x²y=x−1never touch → 0 pointsx² − x + 1 = 0Δ = 1 − 4 = −3Δ < 0 → no real x eliminate y → ax² + bx + c = 0 → look at ΔΔ > 02 solutionsΔ = 01 solutionΔ < 00 solutions ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ⚔ BOSS： 綜合（變形 + 相切求參數 + 代回） tangent:x² − 2x − k = 0→Δ = 4 + 4k = 0k = −1set Δ = 0, solve for the unknown ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 CLEARED · 全部過關 🎉 W12D2 通關！ 下一節：W12D3 · 分式方程（化為二次，記得驗根去增根）。