Σ學習通 · W9D6 · 57 / 129
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第 9 週 · 二次方程 · 第 6 節

複數初步 a±bi + 本週關卡

W9D3 說「Δ < 0 沒有實根」—— 那些根去哪了?這節補上 √負數 的家:虛數 i 與複數 a+bi,只學最淺的四則運算。最後一關串起整週二次方程。

▶ 第一關: 認識虛數 i 與 i 的次方
number systems grow outward, layer by layerℕ 1,2,3ℤ +負數ℚ +分數ℝ +√2 πℂ +i遇到 √(−1) 實數裝不下 → 規定 i²=−1 來裝它 → 最外層 ℂ 複數 a+bi
powers of i : one full loop every 4 stepsi−1−i1i⁴ → 回到 i×i each step
Argand plane : point 3 + 2iRe (實部)Im (虛部)123123 + 2i橫=實部 3,縱=虛部 2 → 平面上一點
▶ 第二關: 複數的加法與減法
(2 + 3i) + (1 − i) : line up two columnsreal partimaginary part2+3i+ 1− i3+2i2+13i−i答案 = 3 + 2i
▶ 第三關: 複數的乘法(與共軛)
(2 + 3i)(1 − i) : FOIL grid, 4 products×1− i2+3i2−2i3i−3i²= +32 − 2i + 3i − 3i² → i² 換 −1 → 2 + i + 3= 5 + i
conjugates multiply → imaginary part vanishes(3 + 4i)(3 − 4i)same real partopposite sign= 3² − (4i)² = 9 − 16i²−16i² = −16(−1) = +169 + 16 = 25 (a real number!)
⚔ BOSS: W9 總關卡(因式法 × 判別式 × 根與係數)