第 9 週 · 二次方程 · 第 5 節

二次方程應用題

前四節都在「解」方程，這節學最難的一步 — 把文字題翻成方程。面積、連續整數、勾股、行程，全套「六步法」從零講透，每種題型配一張圖。

📋 應用題六步法（這一課的總綱，每題都照它走）：

讀題設元：看清「求什麼」，把它（或最方便的量）設為 x。
翻譯關係：把「多 / 少 / 倍 / 積 / 面積 / 勾股」翻成一條含 x 的等式。
整理標準式：移項、展開，化成 ax² + bx + c = 0。
解方程：用前四節學的因式法 / 二次公式求出兩根。
檢驗捨根：長度、年齡、人數、時間不能為負，也常要是整數 —— 把不合理的根捨去。
作答帶單位：寫清楚答案，別忘了 cm、歲、km/h，並且問什麼答什麼。

💡 第 ③④ 步前面三節練爆了，這課的新功夫集中在第 ①②⑤⑥ 步 —— 也就是「設、列、捨、答」。下面那條流程圖，每做一題就在心裡走一遍。

▶ 第一關：面積問題

▶ 第二關：連續整數 / 數字問題

▶ 第三關：勾股 / 行程問題

第三類：勾股 / 行程。看到「直角三角形、梯子靠牆、對角線」就上「畢氏定理」a² + b² = c²（c 是斜邊，最長那條）。

板書例 1：直角三角形兩直角邊相差 7、斜邊 13，求較短邊。（對照下圖的三角形）

① 設短邊 = x，則長邊 = x + 7，斜邊 = 13。

② 畢氏定理：x² + (x + 7)² = 13²。

③ 展開：x² + x² + 14x + 49 = 169 → 2x² + 14x − 120 = 0，兩邊同除以 2 → x² + 7x − 60 = 0。

④ 解：(x + 12)(x − 5) = 0 → x = −12 或 5。

⑤⑥ 邊長為正，捨 −12 → 短邊 = 5。（驗算：5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓，正是放大的 5-12-13 整數組）

💡 長方形的對角線就是它的斜邊；梯子題裡「梯子」就是斜邊、牆與地面是兩直角邊。

⚔ BOSS：綜合應用（框邊、拋物、行程）

⚔ 六步法總複習，再加兩道進階示範。

① 設元 ② 列式 ③ 整理 ④ 解 ⑤ 捨根 ⑥ 帶單位作答。

進階例 1（面積框邊，看下圖）：相片長 8、寬 6，四周加等寬框，連框面積 80，求框寬。設框寬 = x，總長 = 8 + 2x、總寬 = 6 + 2x（左右各加一條、上下各加一條，所以是 2x 不是 x）。(8 + 2x)(6 + 2x) = 80 → 4x² + 28x + 48 = 80 → x² + 7x − 8 = 0 → (x + 8)(x − 1) = 0 → 捨 −8 → 框寬 = 1 cm。

進階例 2（拋物高度）：球向上拋，h = 20t − 5t²，問幾秒落地（h = 0）。令 20t − 5t² = 0 → 提公因 5t(4 − t) = 0 → t = 0（剛拋出那一刻）或 t = 4。t = 0 是出發點不是落地，所以落地 t = 4 秒。

💡 拋物題的兩個根常常一個是「起點 t = 0」、一個才是答案 —— 別看到 t = 0 就交。

二次方程應用題

🎉 W9D5 通關！