第 14 週 · 等差與等比數列 · 第 2 節 等差數列求和 Sₙ：高斯配對法 小高斯 8 歲秒算 1+2+…+100 = 5050。把首尾配對，每對都一樣大 —— 等差求和公式 Sₙ = n(a+l)/2 就這樣誕生。配滿圖例，從零講透。 ▶ 第一關： 高斯配對法 pair head with tail: 1 + 2 + ... + 100123......98991001+100 = 2+99 = 3+98 = ... = 101 (1+100)=101(2+99)=101...(50+51)=10150 pairs x 101 = 5050100 numbers / 2 = 50 pairs 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1012345678910each pair = 11, there are 5 pairs11 x 5 = 55 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第二關： 求和公式 Sₙ = n(a+l)/2 S =a(a+d)...(l−d)lS =l(l−d)...(a+d)a2S =(a+l)(a+l)...(a+l)(a+l)n columns, each = (a+l) => 2S = n(a+l)S = n(a+l) / 2 Sₙ = n ( a + l ) / 2number of termsfirst term alast term l = Tₙ each term = a bar; the shape is a trapezoidalwidth = n termsarea =(a+l)·n/2 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第三關： 第二式 Sₙ = n[2a+(n−1)d]/2 Sₙ = n(a + l)/2start from formula 1substitute l = a + (n−1)dSₙ = n[a + a + (n−1)d]/2Sₙ = n[2a + (n−1)d]/2combine a + a = 2a a=3, d=2, n=10 (formula 2)S₁₀ = 10[2x3 + 9x2]/2 = 10[6 + 18]/2 = 10x12S₁₀ = 120 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ⚔ BOSS： 先求項數再求和 · Tₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 3 + 5 + 7 + ... + 21① find n: 21 = 3 + (n−1)x2 => n = 10② sum: 10x(3+21)/2 = 10x12 = 120 Tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (nth term from the sums)S₅ = T₁+...+T₅S₄ = T₁+...+T₄S₅ − S₄ = T₅25 − 16 = 9 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 CLEARED · 全部過關 🎉 W14D2 通關！ 下一節：W14D3 · 等比數列（每次乘同一個數）。