HKDSE 數學備考 · S1-S3 全面診斷

S1-S3 全面診斷卷 v2 · 標準答案與評分

使用方法：請先完成 diagnostic_v2_paper.html 後再對照此答案。每題下面有「步驟分」說明，便宜你給自己評分。最後請填寫底部的得分表，記下總分與各區佔比，這就是我們下一步制定學習計畫的依據。

A. 數與運算 · 16 分

−2 − (−3) × 4 + 8 ÷ (−2)

= −2 + 12 + (−4)

= 6

評分：先處理乘除（變號）1 分；最終答案 1 分。
56 − 23 × (−98) ÷ 34

= 56 − 23 × (−98) × 43

= 56 − (−1) = 56 + 1

= 116

評分：除法變乘倒數 1 分；負號處理及化簡得 −1 1 分（共 2 分）。

0.6 kg = 600 g

600 : 900 = 2 : 3

評分：單位統一 0.5 分；最簡比 0.5 分（共 1 分）。
最後價格 = x × (1 − 0.20) × (1 + 0.10) = x × 0.80 × 1.10 = 0.88x

比原價便宜了 12%。

評分：用兩個乘數 0.80 和 1.10 1 分；得 0.88x 並答便宜 12% 1 分（共 2 分）。
實際距離 = 4.5 cm × 200 000 = 900 000 cm

= 9 000 m = 9 km

9 km

評分：比例尺乘法 1 分；正確換算成 km 1 分（共 2 分）。

易錯：上次摸底就在這裡寫成 180 km — 100 000 cm = 1 km，不要忘了。

5.65 ≤ L < 5.75

評分：下限 5.65（含等號）1 分；上限 5.75（嚴格小於）1 分（共 2 分）。
面積上限 < 5.75² = 33.0625 cm²

嚴格上限 33.0625 cm²

評分：使用上界 5.75 1 分；計算正確 1 分（共 2 分）。
0.0000528 = 5.28 × 10⁻⁵

≈ 5.3 × 10⁻⁵（保留 2 位有效數字）

評分：標準式正確（10⁻⁵）0.5 分；2 位有效數字 4 捨 5 入 0.5 分（共 1 分）。

√50 = √(25 × 2) = 5√2

√8 = √(4 × 2) = 2√2

√18 = √(9 × 2) = 3√2

5√2 + 2√2 − 3√2 = 4√2

= 4√2

評分：把三個根式都化成 √2 的倍數 1 分；合併得 4√2 1 分（共 2 分）。

B. 代數式、因式分解、指數 · 18 分

2(3x − 5) − 3(x − 2) = 6x − 10 − 3x + 6

= 3x − 4

評分：兩個括號正確展開（注意 −3 × −2 = +6）1 分；合併同類項 1 分（共 2 分）。
(2x − 3)(x + 4) = 2x · x + 2x · 4 + (−3) · x + (−3) · 4

= 2x² + 8x − 3x − 12

= 2x² + 5x − 12

評分：四項展開 1 分；合併同類項得正確答案 1 分（共 2 分）。

4a²b − 6ab² = 2ab(2a − 3b)
評分：1 分。
x² − 7x + 10 = (x − 5)(x − 2)
評分：找到 −5 和 −2（積 +10、和 −7）1 分；正確寫成因式 1 分（共 2 分）。
9x² − 16y² = (3x − 4y)(3x + 4y)
評分：1 分（平方差公式 a² − b² = (a−b)(a+b)）。
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
評分：1 分（完全平方公式 a² + 2ab + b²）。

3⁴ × 3⁻² ÷ 3⁻¹ = 3^{4 + (−2) − (−1)} = 3³

= 27

評分：合併指數正確 1 分；最終值 27 1 分（共 2 分）。
(2x³y⁻²)² × x⁻¹y³ = 4x⁶y⁻⁴ × x⁻¹y³

= 4x⁶⁻¹y⁻⁴⁺³ = 4x⁵y⁻¹

= 4x⁵y

評分：括號平方正確（每個指數都乘 2）1 分；最後消去負指數 1 分（共 2 分）。

2A = (a + b)h ⇒ a + b = 2Ah ⇒ b = 2Ah − a

b = 2Ah − a

評分：1 分。
x² − 4x² − 4x + 4 × x − 2x + 2 = (x − 2)(x + 2)(x − 2)² × x − 2x + 2

= x + 2x − 2 × x − 2x + 2

= 1

評分：兩個多項式正確因式分解 1 分；正確約分得 1 1 分（共 2 分）。

P(2) = 2³ − 2(2²) + a(2) + 6 = 8 − 8 + 2a + 6 = 2a + 6

2a + 6 = 0 ⇒ 2a = −6

a = −3

評分：正確代入 x = 2 並化簡 1 分；解出 a = −3 1 分（共 2 分）。

C. 方程、不等式、聯立方程 · 12 分

10.

2x − 13 − x + 24 = 1

兩邊乘 12 清分母：4(2x − 1) − 3(x + 2) = 12

8x − 4 − 3x − 6 = 12

5x − 10 = 12 ⇒ 5x = 22

x = 225

評分：通分 1 分；正確展開 + 答案 1 分（共 2 分）。
5 − 2x ≥ 3x + 20 ⇒ −5x ≥ 15

兩邊除以 −5（除以負數要反號）：x ≤ −3

數線：在 −3 處畫實心點，箭頭向左。

評分：移項正確 1 分；負數除法反號 + 數線畫法正確 1 分（共 2 分）。

易錯：很多人會忘記除以負數時不等號要反向。記住這一條規則！

11.

列方程：

3p + 2n = 46 ⋯ (1)

2p + 5n = 60 ⋯ (2)

用消元法：(1) × 5 − (2) × 2：

15p + 10n − 4p − 10n = 230 − 120

11p = 110 ⇒ p = 10

代回 (1)：3(10) + 2n = 46 ⇒ 2n = 16 ⇒ n = 8

每支筆 $10，每本筆記簿 $8。

評分：列出兩條正確方程 1 分；消元/代入 1 分；p = 10 1 分；n = 8 並寫單位 1 分（共 4 分）。

12.

x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0

x = 2 或 x = 3

評分：因式分解 1 分；兩個解 1 分（共 2 分）。
(x − 4)² = 25 ⇒ x − 4 = ±5

x = 9 或 x = −1

評分：開方時加 ± 1 分；兩個解 1 分（共 2 分）。

易錯：忘記寫負解。開方一定有 ± 兩個答案。

D. 坐標幾何與線性關係 · 10 分

13.

斜率 m = y₂ − y₁x₂ − x₁ = 6 − 25 − (−3) = 48

m = 12

評分：1 分。
用 A(−3, 2) 代入 y − y₁ = m(x − x₁)：

y − 2 = 12(x − (−3)) = 12(x + 3)

y = 12x + 72

評分：用點斜式 1 分；整理成 y = mx + c 1 分（共 2 分）。
中點 = (−3 + 52, 2 + 62) = (1, 4)

AB = √[(5 − (−3))² + (6 − 2)²] = √(64 + 16) = √80 = 4√5

中點 (1, 4)；AB = 4√5 ≈ 8.94

評分：中點 1 分；距離公式 + 化最簡根式 1 分（共 2 分）。

14.

C_A = 50 + 1.5m，C_B = 80 + 0.9m

評分：每個公式 1 分（共 2 分）。
50 + 1.5m = 80 + 0.9m

0.6m = 30 ⇒ m = 50

m = 50 度

評分：1 分。
C_A(80) = 50 + 1.5 × 80 = 50 + 120 = 170

C_B(80) = 80 + 0.9 × 80 = 80 + 72 = 152

方案 B 較便宜，便宜 $18。

評分：兩個收費正確 1 分；判斷 B + 差額 $18 1 分（共 2 分）。

E. 幾何 · 16 分

15.

由於 ℓ ∥ BC，且 AB 是橫截線，內錯角相等：

∠ABC = ∠PAB = 50°

評分：1 分（必須說明是內錯角或等同位角）。
三角形內角和 = 180°：

∠BAC = 180° − 50° − 65° = 65°

評分：1 分。
△ABC 中 ∠BAC = ∠ACB = 65°，等角對等邊。

∠BAC 對邊是 BC；∠ACB 對邊是 AB。

所以 AB = BC，△ABC 是等腰三角形。

評分：指出 AB = BC（或寫對等腰即可）並有理由 1 分。

16.

AC² = AB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

AC = 10 cm

評分：1 分。
在 △ABD 與 △ACB 中：

∠BAD = ∠CAB （共同角）

∠ADB = ∠ABC = 90° （已知 BD ⊥ AC，∠B = 90°）

所以 △ABD ~ △ACB（AA 相似）。

評分：指出共同角 1 分；指出兩個直角 + 用 AA 相似 1 分（共 2 分）。
由相似 △ABD ~ △ACB，對應邊比例：

ABAC = BDCB

810 = BD6 ⇒ BD = 8 × 610

BD = 4.8 cm

評分：寫對對應邊比例 1 分；解出 BD = 4.8 1 分（共 2 分）。

17.

用 SAS（兩邊夾一角）。AB = DE、∠B = ∠E、BC = EF，正好是「邊—角—邊」的順序。

評分：1 分。
在 △ABC 與 △DEF 中：

AB = DE （已知）

∠ABC = ∠DEF = 90° （已知）

BC = EF （已知）

∴ △ABC ≅ △DEF（SAS）

評分：列出 3 條對應條件 1 分；下結論 + 寫 SAS 簡寫 1 分（共 2 分）。
AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

AC = 5 cm

評分：1 分。

18.

方法 1（用內角和）：n 邊形內角和 = 180°(n − 2)。每個內角 150°：

150n = 180(n − 2) ⇒ 150n = 180n − 360 ⇒ 30n = 360 ⇒ n = 12

方法 2（用外角）：每個外角 = 180° − 150° = 30°；正多邊形外角和 360°，n = 360 / 30 = 12。

12 邊形（正十二邊形）。

評分：列出方程或用外角法 1 分；得 n = 12 1 分（共 2 分）。
在平行四邊形中，相鄰角互補（同旁內角）：∠A + ∠B = 180°

∠B = 180° − 110° = 70°

對角相等：∠C = ∠A = 110°，∠D = ∠B = 70°

∠B = 70°，∠C = 110°，∠D = 70°

評分：每答對一個角 + 理由 0.5 分（三個角共 1.5 分），寫對「相鄰互補」「對角相等」加 0.5 分（共 2 分）。

F. 度量、體積、表面、速度與變分 · 12 分

19.

弧長 = θ360° × 2πr = 120360 × 2π × 6

= 13 × 12π

= 4π cm

評分：弧長公式 1 分；答案 4π 1 分（共 2 分）。
扇形面積 = θ360° × πr² = 120360 × π × 36

= 12π cm²

評分：扇形面積公式 1 分；答案 12π 1 分（共 2 分）。
V = πr²h = π × 3² × 10 = 90π cm³

V = 90π cm³

評分：1 分。

20.

V = 13πr²h = 13 × π × 5² × 12 = 13 × 300π

V = 100π cm³

評分：代入公式 1 分；答案 100π 1 分（共 2 分）。
S = 4πr² = 4π × 6² = 4π × 36

S = 144π cm²

評分：1 分。

21.

第一段距離 = 8 km/h × 0.5 h = 4 km

第二段距離 = 12 km/h × 0.25 h = 3 km

總距離 = 4 + 3 = 7 km

總時間 = 0.5 + 0.25 = 0.75 h

平均速度 = 總距離總時間 = 70.75 = 283

≈ 9.33 km/h

評分：兩段距離各 0.5 分；總時間 0.5 分；用「總距離 ÷ 總時間」 0.5 分（共 2 分）。

易錯：千萬不要用 (8 + 12) / 2 = 10 來算「平均」，這是錯的！平均速度永遠是總距離 ÷ 總時間。
y 與 x 成正比 ⇒ y = kx。代入 x = 4，y = 18：

18 = 4k ⇒ k = 92 = 4.5

當 x = 10：y = 4.5 × 10 = 45

y = 45

評分：寫出 y = kx 並求 k 1 分；代入 x = 10 求 y 1 分（共 2 分）。

G. 三角比 · 6 分

22.

AC² = AB² − BC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144

AC = 12 cm

評分：用畢氏定理 0.5 分；得 12 0.5 分（共 1 分）。
在直角三角形中，相對 ∠A 的邊（對邊）= BC = 5；鄰邊 = AC = 12；斜邊 = AB = 13。

sin A = 對邊斜邊 = 513

cos A = 鄰邊斜邊 = 1213

tan A = 對邊鄰邊 = 512

評分：sin、cos、tan 各 0.5 分；正確識別對邊/鄰邊/斜邊 0.5 分（共 2 分）。

記憶口訣 SOH-CAH-TOA：sin = Opp/Hyp，cos = Adj/Hyp，tan = Opp/Adj。
設大樓高度 h，則 tan(仰角) = 對邊 / 鄰邊 = 高度 / 水平距離：

tan 30° = h60

h = 60 × tan 30° = 60 × 1√3 = 60√3 = 20√3

≈ 20 × 1.732 = 34.64

大樓高度 ≈ 34.6 m

評分：列出 tan 30° = h / 60 1 分；計算正確 1 分；保留 1 位小數 1 分（共 3 分）。

H. 統計與概率 · 10 分

23.

組中值：4.5、14.5、24.5、34.5、44.5

Σfx = 3(4.5) + 6(14.5) + 12(24.5) + 5(34.5) + 4(44.5)

= 13.5 + 87 + 294 + 172.5 + 178 = 745

Σf = 3 + 6 + 12 + 5 + 4 = 30

估計平均 = ΣfxΣf = 74530 ≈ 24.83

≈ 24.8 分

評分：組中值正確 0.5 分；Σfx 計算正確 1 分；Σf = 30 + 計算結果 0.5 分（共 2 分）。
把莖葉圖還原成數據：12、15、18、20、23、26、27、31、34（共 9 個）

9 個數的中位數 = 第 (9+1)/2 = 第 5 個數

中位數 = 23

評分：正確還原數據 1 分；找對中位數 1 分（共 2 分）。

24.

樹狀圖結構（每個分支標機率）：

注意：第二次抽時袋中總共只剩 6 個球，且抽走的顏色少了 1 個。所以 P(R|R) = 3/6，P(R|B) = 4/6 等等。

評分：兩級結構正確 1 分；標對所有條件機率（含分母 6）1 分（共 2 分）。
P(RR) = 47 × 36 = 1242

= 27

評分：第一次抽 4/7 0.5 分；第二次抽 3/6（分母變 6） 0.5 分（共 1 分）。
兩球顏色不同 = RB 或 BR：

P(RB) + P(BR) = 47 × 36 + 37 × 46

= 1242 + 1242 = 2442

= 47

評分：列出 RB 和 BR 兩種情況 1 分；正確相加 1 分（共 2 分）。
P(至少一個藍) = 1 − P(沒有藍) = 1 − P(RR)

= 1 − 27

= 57

評分：用補事件 1 分（共 1 分）。

「至少」型概率最快的方法是「1 減掉相反事件」。如果硬算 P(RB) + P(BR) + P(BB) 也可以，但容易漏。

★ 自我評分表（請填寫後告訴 Claude）

把每題的得分填入下表，最後加總。我會根據這份結果為你制定下一步的個人化學習計畫。

區段	題號	滿分	% 比例
A. 數與運算	1, 2, 3, 4	16	—
B. 代數式、因式分解、指數	5, 6, 7, 8, 9	18	—
C. 方程、不等式、聯立	10, 11, 12	12	—
D. 坐標幾何與線性	13, 14	10	—
E. 幾何	15, 16, 17, 18	16	—
F. 度量、體積、表面、變分	19, 20, 21	12	—
G. 三角比	22	6	—
H. 統計與概率	23, 24	10	—
總分	—	100	—

填寫後可以截圖傳給我，或直接告訴我每區的得分。

如何解讀你的成績

每區百分比	判斷	下一步
≥ 75%	穩固	這個區可以先放，定期複習錯題即可。
60% – 74%	要補題型	概念基本理解，但個別題型不熟。針對題型補練。
< 60%	必補	基礎概念有斷層，需要從頭講解 + 大量練習。

告訴我每區的得分後，我會：(1) 標出哪幾區是必補；(2) 為每個必補區做一節「圖解 + 闖關」入門課；(3) 排出未來 4-6 週的個人化學習路線圖（不會再像之前那份是 KPI 表格）。