HKDSE 數學 · 必修部分 · S1–S3 綜合自測
W0–W8 全範圍綜合測驗
覆蓋有向數、代數、坐標、幾何、度量、三角、統計概率，以及第 7、8 週的銜接缺口與初中地基（方程、不等式、聯立等），難度由淺入深至 HKDSE 真題級。 建議時限 120 分鐘，總分 125 分。
1 計算 (−3) − (−7) × 2 + (−4) ÷ 2 =
W0 有向數 先乘除：−3 − (−14) + (−2) = −3 + 14 − 2 = 9。
2 一張地圖的比例尺為 1 : 50000。圖上兩點相距 6 cm，則實際距離為
W0 比例 / 單位 6 × 50000 = 300000 cm = 3 km（100000 cm = 1 km）。
3 化簡 5x − 3y − 8x + 7y =
W1 合併同類項 (5 − 8)x + (−3 + 7)y = −3x + 4y。
4 因式分解 6a²b − 9ab² =
W1 提公因式 公因式 3ab → 3ab(2a − 3b)。
5 因式分解 x² − 2x − 15 =
W1 十字相乘 積 −15、和 −2 → −5 與 3 → (x − 5)(x + 3)。
6 展開 (2x − 3)² =
W1 完全平方 (2x)² − 2·(2x)·3 + 3² = 4x² − 12x + 9。
7 化簡 (a⁵ × a⁻²) ÷ a⁻¹ =
W2 指數律 a^(5 + (−2) − (−1)) = a^(5 − 2 + 1) = a⁴。
8 化簡 √48 − √12 =
W2 根式 √48 = 4√3、√12 = 2√3 → 4√3 − 2√3 = 2√3。
9 若 v = u + at，使 a 成為公式的主項，則 a =
W2 公式變換 at = v − u → a = (v − u)/t。
10 解方程 x² − 7x + 12 = 0
W2 二次方程 (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 或 4。
11 點 A(−1, 2) 與點 B(5, 10) 的中點坐標為
W3 中點 ((−1 + 5)/2, (2 + 10)/2) = (2, 6)。
12 通過點 (0, −3) 且斜率為 2 的直線方程為
W3 直線方程 y 截距 −3、斜率 2 → y = 2x − 3。
13 直線 y = 3x + 1 的垂直線的斜率為
W3 垂直斜率 兩線垂直 → 斜率乘積 = −1 → −1/3。
14 設 f(x) = x³ − 2x² + 3x − 5，則 f(2) =
W3 多項式代入 8 − 8 + 6 − 5 = 1。
15 兩平行線被一截線所截。若一對同位角的其中一個為 65°，則它的同位角為
W4 平行線角 同位角相等 → 65°。
16 一直角三角形的兩直角邊為 6 cm 及 8 cm，斜邊長為
W4 勾股定理 √(6² + 8²) = √100 = 10 cm。
17 下列哪一組條件不能判定兩個三角形全等？
W4 全等判定 AAA 只能判定相似，不能判定全等。
18 一個正八邊形的每一個內角為
W4 多邊形 (8 − 2) × 180° ÷ 8 = 1080° ÷ 8 = 135°。
19 半徑 6 cm、圓心角 60° 的扇形面積為
W5 扇形 (60/360) × π × 6² = (1/6) × 36π = 6π cm²。
20 底半徑 3 cm、高 7 cm 的直立圓柱體積為
W5 圓柱 πr²h = π × 9 × 7 = 63π cm³。
21 某人以 6 km/h 走 2 小時，再以 4 km/h 走 1 小時。全程平均速率為
W5 平均速率 總距 12 + 4 = 16 km；總時 3 h → 16/3 km/h（不是 (6 + 4)/2 = 5）。
22 直角三角形中，∠A 的對邊為 5、斜邊為 13，則 sin A =
W5 三角比 sin A = 對邊 / 斜邊 = 5/13。
23 數據 4, 7, 7, 9, 13 的平均數為
W6 平均數 (4 + 7 + 7 + 9 + 13) / 5 = 40 / 5 = 8。
24 擲一顆公平骰子一次，出現點數大於 4 的概率為
W6 概率 大於 4：{5, 6} → 2/6 = 1/3。
25 解方程 2x + 3 = 11，x =
W8 一元一次方程 2x = 11 − 3 = 8 → x = 4。
26 解不等式 3x − 1 ≤ 8，x 的最大整數值是
W8 一元一次不等式 3x ≤ 9 → x ≤ 3，最大整數 = 3。
27 聯立 x + y = 8、x − y = 2 的解中，x =
W8 聯立方程 兩式相加：2x = 10 → x = 5。
28 把 0.00036 寫成 a × 10ⁿ（1 ≤ a < 10），則 n =
W8 科學記數法 0.00036 = 3.6 × 10⁻⁴ → n = −4。
29 $200 增加 15% 後是
W8 百分數應用 200 × (1 + 0.15) = 200 × 1.15 = 230。
30 圓形圖中某項佔全體的 30%，它的扇形圓心角是
W8 統計圖表 0.30 × 360° = 108°。
B1 W7D1 代數分式加減 5 分
化簡 3/(2x − 1) − 2/(3x + 1) 。
顯示標準解答 ▾
公分母 = (2x − 1)(3x + 1)。
分子 = 3(3x + 1) − 2(2x − 1) = 9x + 3 − 4x + 2 = 5x + 5。
= (5x + 5) / [(2x − 1)(3x + 1)] （亦可寫成 5(x + 1) / [(2x − 1)(3x + 1)]）。
分子 = 3(3x + 1) − 2(2x − 1) = 9x + 3 − 4x + 2 = 5x + 5。
= (5x + 5) / [(2x − 1)(3x + 1)] （亦可寫成 5(x + 1) / [(2x − 1)(3x + 1)]）。
B2 W7D2 進階十字相乘 6 分
(a) 因式分解 2x² − 7x − 15 。
(b) 因式分解 2x² − 7x − 15 + 4x − 20 （可利用 (a) 的結果）。
(b) 因式分解 2x² − 7x − 15 + 4x − 20 （可利用 (a) 的結果）。
顯示標準解答 ▾
(a) ac = 2 × (−15) = −30；積 −30、和 −7 → −10 與 3：
2x² − 10x + 3x − 15 = 2x(x − 5) + 3(x − 5) = (x − 5)(2x + 3)。
(b) = (x − 5)(2x + 3) + 4(x − 5) ［4x − 20 = 4(x − 5)］
提公因 (x − 5)：= (x − 5)(2x + 7)。
2x² − 10x + 3x − 15 = 2x(x − 5) + 3(x − 5) = (x − 5)(2x + 3)。
(b) = (x − 5)(2x + 3) + 4(x − 5) ［4x − 20 = 4(x − 5)］
提公因 (x − 5)：= (x − 5)(2x + 7)。
B3 W7D3 比例代數 6 分
已知 a : b = 3 : 2 且 b : c = 4 : 5 。
(a) 求 a : b : c。 (b) 求 (a + c) : b。
(a) 求 a : b : c。 (b) 求 (a + c) : b。
顯示標準解答 ▾
(a) 統一 b（2 與 4 的最小公倍數 = 4）：a : b = 6 : 4、b : c = 4 : 5。
a : b : c = 6 : 4 : 5。
(b) (a + c) : b = (6 + 5) : 4 = 11 : 4。
a : b : c = 6 : 4 : 5。
(b) (a + c) : b = (6 + 5) : 4 = 11 : 4。
B4 W7D3 聯變 6 分
z 隨 x² 正變且隨 y 反變。當 x = 2、y = 3 時 z = 8 。
(a) 求 z 關於 x、y 的關係式。 (b) 若 x 增加 20%、y 減少 20%，求 z 的變化百分率。
(a) 求 z 關於 x、y 的關係式。 (b) 若 x 增加 20%、y 減少 20%，求 z 的變化百分率。
顯示標準解答 ▾
(a) z = kx²/y；8 = k × 4/3 → k = 6 → z = 6x²/y。
(b) 新 z = 6(1.2x)²/(0.8y) = (1.44 / 0.8) × (6x²/y) = 1.8z → 增加 80%。
(b) 新 z = 6(1.2x)²/(0.8y) = (1.44 / 0.8) × (6x²/y) = 1.8z → 增加 80%。
B5 W4 等腰 + 全等證明 7 分
在 △PQR 中，PQ = PR。設 M 為 QR 的中點，連 PM。
(a) 證明 △PQM ≅ △PRM。 (b) 由此證明 PM ⊥ QR。
(a) 證明 △PQM ≅ △PRM。 (b) 由此證明 PM ⊥ QR。
顯示標準解答 ▾
(a) 在 △PQM 與 △PRM 中：PQ = PR（已知）、QM = RM（M 為中點）、PM = PM（公共邊）
∴ △PQM ≅ △PRM（SSS）。
(b) ∠PMQ = ∠PMR（全等對應角）；又 ∠PMQ + ∠PMR = 180°（QMR 為直線）
∴ 2∠PMQ = 180° → ∠PMQ = 90° → PM ⊥ QR。
∴ △PQM ≅ △PRM（SSS）。
(b) ∠PMQ = ∠PMR（全等對應角）；又 ∠PMQ + ∠PMR = 180°（QMR 為直線）
∴ 2∠PMQ = 180° → ∠PMQ = 90° → PM ⊥ QR。
B6 W7D4 相似立體 k³ 6 分
兩個相似的圓錐體，其體積之比為 27 : 64 。
(a) 求它們對應的高之比。 (b) 若較小圓錐體的表面積為 18π cm²，求較大者的表面積。
(a) 求它們對應的高之比。 (b) 若較小圓錐體的表面積為 18π cm²，求較大者的表面積。
顯示標準解答 ▾
(a) 體積比 = k³ = 27 : 64 → 高之比 = ∛27 : ∛64 = 3 : 4。
(b) 表面積比 = k² = 3² : 4² = 9 : 16 → 大 = 18π × 16/9 = 32π cm²。
(b) 表面積比 = k² = 3² : 4² = 9 : 16 → 大 = 18π × 16/9 = 32π cm²。
B7 W6 + W7D4 統計 8 分
某班 11 名學生的測驗分數莖葉圖（莖 = 十位）：
5 | 5 8 8
6 | 0 3 4 7
7 | 1 5
8 | 2 6
(a) 寫出中位數及眾數。 (b) 求分佈域及四分位數間距（IQR）。
5 | 5 8 8
6 | 0 3 4 7
7 | 1 5
8 | 2 6
(a) 寫出中位數及眾數。 (b) 求分佈域及四分位數間距（IQR）。
顯示標準解答 ▾
數據（已排序）：55, 58, 58, 60, 63, 64, 67, 71, 75, 82, 86（n = 11）。
(a) 中位數 = 第 6 個 = 64；眾數 = 58（出現 2 次）。
(b) 分佈域 = 86 − 55 = 31。
採「下半部 / 上半部中位數」法：Q1 = 58、Q3 = 75 → IQR = 75 − 58 = 17。
(a) 中位數 = 第 6 個 = 64；眾數 = 58（出現 2 次）。
(b) 分佈域 = 86 − 55 = 31。
採「下半部 / 上半部中位數」法：Q1 = 58、Q3 = 75 → IQR = 75 − 58 = 17。
B8 W7D5 坐標變換 8 分
(a) 點 A(2, −5) 先繞原點逆時針旋轉 90°，再對 y 軸反射，得點 B。求 B。
(b) 點 C 對直線 x = 3 反射後得 (−1, 4)。求 C。
(b) 點 C 對直線 x = 3 反射後得 (−1, 4)。求 C。
顯示標準解答 ▾
(a) 逆時針 90°：(x, y) → (−y, x)，(2, −5) → (5, 2)；
對 y 軸反射：(x, y) → (−x, y)，(5, 2) → (−5, 2)。
(b) 對 x = 3 反射：(x, y) → (6 − x, y)。(6 − x, y) = (−1, 4) → x = 7、y = 4 → C = (7, 4)。
對 y 軸反射：(x, y) → (−x, y)，(5, 2) → (−5, 2)。
(b) 對 x = 3 反射：(x, y) → (6 − x, y)。(6 − x, y) = (−1, 4) → x = 7、y = 4 → C = (7, 4)。
B9 W8 聯立方程應用 6 分
停車場內汽車與電單車共 30 輛，車輪共 100 個（汽車 4 輪、電單車 2 輪）。
(a) 設汽車 x 輛、電單車 y 輛，列出兩條方程。 (b) 求汽車的數目。
(a) 設汽車 x 輛、電單車 y 輛，列出兩條方程。 (b) 求汽車的數目。
顯示標準解答 ▾
(a) x + y = 30；4x + 2y = 100（即 2x + y = 50）。
(b) 兩式相減：(2x + y) − (x + y) = 50 − 30 → x = 20。汽車 20 輛（電單車 10 輛）。
(b) 兩式相減：(2x + y) − (x + y) = 50 − 30 → x = 20。汽車 20 輛（電單車 10 輛）。
B10 W8 不等式 + 百分數 7 分
(a) 解不等式 (2x + 1)/3 ≥ x − 1，並寫出最大整數解。
(b) 某商品成本 $150，標價較成本高 20%，再以標價九折出售。求利潤（以金額表示）。
(b) 某商品成本 $150，標價較成本高 20%，再以標價九折出售。求利潤（以金額表示）。
顯示標準解答 ▾
(a) 兩邊 ×3：2x + 1 ≥ 3x − 3 → 4 ≥ x，即 x ≤ 4 → 最大整數 4。
(b) 標價 = 150 × 1.2 = 180；售價 = 180 × 0.9 = 162；利潤 = 162 − 150 = $12。
(b) 標價 = 150 × 1.2 = 180；售價 = 180 × 0.9 = 162；利潤 = 162 − 150 = $12。