Σ學習通 · W11D3 · 66 / 129
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第 11 週 · 多項式與餘式定理 · 第 3 節

因式定理 + 分解三次式

餘式定理裡最有用的特例 —— 餘數 = 0。它在告訴你「找到一個因式了」。這就是分解三次式的鑰匙：試根 → 得一次因式 → 除 → 再分解。配滿圖例，零基礎也學得會。

▶ 第一關： 因式定理 —— P(a) = 0 ⟺ (x − a) 是因式
(x − a) is a factorof P(x)⟺if and only ifP(a) = 0two-way: each side proves the other
remainder theorem → factor theorem (the special case)P(a) = 0→remainder 0→divides exactly→is a factor
试 (x − 3) on x²−5x+6P(3) = 9 − 15 + 6= 0 ✓factor!试 (x − 1) on x²+2x+5P(1) = 1 + 2 + 5= 8 ✗not a factor (rem 8)
▶ 第二關： 試根法找因式 + 立方和差公式
P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 (常数项 −6)试常数项的因数 ±1, ±2, ±3, ±6 …x = −1?P(−1) = −24 ✗→x = 1?P(1) = 0 ✓ 中！→(x − 1) is a factor找到一个 → 交给长除法求出其余部分x = a 中 → factor (x − a)
立方差 (difference)x³ − a³ =(x − a)(x² + ax + a²)middle is +ax立方和 (sum)x³ + a³ =(x + a)(x² − ax + a²)middle is −ax
▶ 第三關： 完整分解三次式（試根→除→再分解）
① 试根 trial rootP(1)=0 → (x−1)② 长除 long division÷(x−1) → x²−5x+6③ 再分解二次x²−5x+6 → (x−2)(x−3)④ 合起来 done(x−1)(x−2)(x−3)cubic → three linear factors
x² − 5x + 6← quotientx−1x³ − 6x² + 11x − 6x³ − x²−5x² + 11x−5x² + 5x6x − 66x − 60remainder 0
⚔ BOSS： 綜合分解 / 判斷因式 / 求未知系數
逆用：(x − 2) 是因式 → P(2) = 0 → 解 k(x − 2) factor→P(2) = 0→2k − 6 = 08 − 12 + 2k − 2 = 0 → k = 3set P(a) = 0, then solve for the unknown