第 14 週 · 等差與等比數列 · 第 5 節 無限等比求和：當 |r| < 1 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 無限加下去，竟然剛好等於 1。當公比 |r| < 1，無限項的和有個有限的「極限和」S∞ = a/(1−r)。把收斂從零講透，配滿圖例。 ▶ 第一關： 項越來越小 + 無限和收斂的直覺 1/21/41/81/161/32…each term halves, shrinking toward 0 rⁿr¹r²r³r⁴r⁵r⁶rⁿ → 0 (|r| < 1) 1/21/41/81/161/2 + 1/4 + 1/8 + …→ fills the whole square= 1 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第二關： 公式 S∞ = a/(1−r) Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)let n → ∞, and |r| < 1 :rⁿ → 0soS∞ = a(1 − 0)/(1 − r) = a/(1 − r) S∞ = a / (1 − r)first termcommon ratiovalid ONLY when |r| < 1 a=1, r=1/2:S∞ = 1 / (1 − 1/2) = 1 / (1/2)=2dividing by 1/2 is the same as multiplying by 2 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第三關： 收斂條件 |r| < 1（命門） −101−1 < r < 1 → converges (use S∞)r ≤ −1: diverger ≥ 1: diverge |r| ≥ 1: terms do NOT shrink → sum blows up…→ ∞r = 2: 2, 4, 8, 16, … (growing)NO finite S∞(diverges) ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ⚔ BOSS： 循環小數化分數 + 反求 r 0.999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …infinite geometric: a = 0.9, r = 0.1S∞ = 0.9 / (1 − 0.1) = 0.9 / 0.9=1so 0.999… is exactly 1, not approximately ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 CLEARED · 全部過關 🎉 W14D5 通關！ 下一節：W14D6 · 數列應用題（複利、堆疊）+ 本週關卡。