第 20 週 · 排列組合與概率 · 第 5 節 概率乘法定律、獨立事件與條件概率 上節學「或」用加法;這節學「且」(A 且 B 都發生)用乘法。樹狀圖是神器:沿樹枝相乘、跨結果相加。再分清「放回(獨立)」和「不放回(條件)」。配滿圖例。 ▶ 第一關: 乘法定律與獨立事件(且 → 乘) startH 1/2T 1/2HTH 1/2HH = 1/4HTTHTT P(A)1/2×P(B)1/2=P(A and B)1/4independent: P(A) x P(B) all 2 x 2 = 4 outcomes2nd H2nd T1st H1st THHHTTHTT spin 1spin 2 (same odds)red 1/3not 2/3red 1/3not 2/3unchangedboth red = 1/3 x 1/3 = 1/9 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第二關: 樹狀圖(沿枝乘、跨枝加) R 3/5B 2/5RBR 3/5B 2/5R 3/5B 2/5RR 9/25RBBRBBalong branch: multiply rain 1/2sun 1/2late 1/2late 1/41/2x1/2=1/4not late1/2x1/4=1/8not lateacross results: 1/4 + 1/8 = 3/8 exactly one head (2 tosses)path HT1/2 x 1/2 = 1/4path TH1/2 x 1/2 = 1/4+1/4 + 1/4 = 1/2 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ▶ 第三關: 放回 vs 不放回(獨立 vs 條件) with replacementwithout replacement1st: 3R 2B (5)put red back2nd: still 3R 2B (5)red 2nd = 3/51st: 3R 2B (5)red taken away2nd: 2R 2B (4)red 2nd = 2/4 R 3/5RR 2/4(P(B|A): now 2 of 4)R3/5 x 2/4 = 6/20 = 3/10 replace (independent)3/5 x 3/5= 9/25no replace (conditional)3/5 x 2/4= 3/10 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 ⚔ BOSS: 綜合樹狀圖(多路徑 + 不放回 + 補事件) 3R 2B, no replace, pick 2R 3/5B 2/5R 2/4B 2/4R 3/4B 1/4RRRBBRBB=2/20at least 1 red = 1 - BB = 1 - 1/10 = 9/10 ⚠ 請啟用 JavaScript 以參與互動題目。 CLEARED · 全部過關 🎉 W20D5 通關! 下一節:W20D6 · 用排列組合算概率 + 本週關卡。