第 9 週 · 二次方程 · 第 2 節

配方法與二次公式

上節因式法很快，但很多方程分解不出整數因式。這節學兩招「萬能解法」 — 配方法 + 二次公式，再也不怕分解不了。

🎯 上節的因式法很快，但有個大前提：方程要能分解成整數因式。可是很多方程根本拆不出來，例如 x² − 4x − 3 = 0 —— 你怎麼湊都找不到「相乘 = −3、相加 = −4」的整數，因式法在這裡直接卡死。

這節學兩招萬能解法，能解任何二次方程，從此不怕分解不了：

① 配方法（completing the square）—— 把式子「補成一個完整正方形」，思想最重要，下週推二次函數頂點還要用；

② 二次公式（quadratic formula）—— 把 a、b、c 代進一條公式，最快最穩，考試主力。

而且，二次公式正是用配方法親手推出來的（本節會帶你推一遍，不要死背）。學完這節，你手上就有「秒殺任何二次方程」的工具。

▶ 第一關：配方法（補成正方形）

配方法核心：把左邊湊成 (x + 數)² 的形狀，再兩邊開平方根。補的數 = (一次項係數 ÷ 2)²。

板書例 1：解 x² + 6x + 5 = 0

① 把常數移到右邊：x² + 6x = −5

② 兩邊同時加 (6 ÷ 2)² = 9：x² + 6x + 9 = −5 + 9

③ 左邊收成平方：(x + 3)² = 4

④ 兩邊開方（記得 ±）：x + 3 = ±2

⑤ 解出：x = −1 或 x = −5（下圖把這 5 步畫成流程圖）

板書例 2（一次項是負）：解 x² − 2x − 8 = 0

移項 x² − 2x = 8；加 (−2 ÷ 2)² = (−1)² = 1 → (x − 1)² = 9 → x − 1 = ±3 → x = 4 或 −2

板書例 3（補的數讓右邊變大）：解 x² + 4x − 12 = 0

移項 x² + 4x = 12；加 (4 ÷ 2)² = 4 → (x + 2)² = 16 → x + 2 = ±4 → x = 2 或 −6

💡 一次項係數是奇數（如 x² + 5x）也照做：加 (5/2)² = 25/4，得 (x + 5/2)²，只是數字變分數，方法不變。

▶ 第二關：二次公式（萬能公式）

得到萬能公式後，解任何二次方程都只要三步：整理成標準式 → 讀 a、b、c → 代公式。

🔑 二次公式：

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a

板書例 1：解 2x² − 4x − 1 = 0

讀係數：a = 2，b = −4，c = −1

代入：x = (4 ± √((−4)² − 4·2·(−1))) ÷ (2·2)

算根號內：16 + 8 = 24 → x = (4 ± √24) ÷ 4

化簡 √24 = 2√6：x = (4 ± 2√6) ÷ 4 = (2 ± √6) ÷ 2

板書例 2（根號開得盡，根是整數）：解 2x² − 3x − 2 = 0

a=2, b=−3, c=−2 → x = (3 ± √(9 + 16)) ÷ 4 = (3 ± √25) ÷ 4 = (3 ± 5) ÷ 4 → x = 2 或 −½

板書例 3（b 為正）：解 2x² + 5x − 3 = 0

a=2, b=5, c=−3 → x = (−5 ± √(25 + 24)) ÷ 4 = (−5 ± 7) ÷ 4 → x = ½ 或 −3

💡 下圖把公式拆成「−b」「±√(b²−4ac)」「2a」三塊，逐塊解釋是什麼。

▶ 第三關：無理根 + 選哪一招

很多方程的根是「無理數」（帶 √、開不盡的）—— 這正是因式法做不到、必須靠公式的場合。遇到「湊不出整數因式」就果斷上公式。

板書例 1：解 x² − 4x − 3 = 0（試湊：相乘 = −3、相加 = −4 的整數？沒有，分解不了）

a = 1，b = −4，c = −3 → x = (4 ± √(16 + 12)) ÷ 2 = (4 ± √28) ÷ 2

化簡 √28 = 2√7：x = (4 ± 2√7) ÷ 2 = 2 ± √7（下面數軸圖把這兩個根畫出來）

板書例 2（b 為負、c 為負）：解 x² − 2x − 2 = 0

x = (2 ± √(4 + 8)) ÷ 2 = (2 ± √12) ÷ 2 = (2 ± 2√3) ÷ 2 = 1 ± √3

板書例 3（b 為正）：解 x² + 2x − 1 = 0

x = (−2 ± √(4 + 4)) ÷ 2 = (−2 ± √8) ÷ 2 = (−2 ± 2√2) ÷ 2 = −1 ± √2

那「選哪一招」？看下面的決策圖👇 —— 一眼能分解 → 因式法（最快）；湊不出整數 / 帶根號 → 二次公式（最穩、不挑方程）。

⚔ BOSS：先整理、a ≠ 1、無理根綜合

⚔ 兩招萬能解法，3 步速查：

【配方法】（思想用於下週二次函數頂點）

移常數到右邊（a ≠ 1 先兩邊除以 a）
兩邊加 (b/2)²，左邊收成 (x + b/2)²
開方 ±，解出兩根

【二次公式】（考試主力）

整理成 ax² + bx + c = 0（一邊 = 0）
讀出 a、b、c（連符號）
代入 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，化簡根號 + 約分

BOSS 兩個易錯點再叮一次：

• 沒整理就代公式：遇到 x² = 5x + 14 要先移成 x² − 5x − 14 = 0，b、c 從標準式讀。這題其實能分解 (x − 7)(x + 2) = 0 → x = 7 或 −2。

• a ≠ 1 + 無理根：2x² − 8x + 3 = 0 → x = (8 ± √(64 − 24))/4 = (8 ± √40)/4 = (8 ± 2√10)/4 = (4 ± √10)/2。

💡 考試 99% 用二次公式（不挑方程、最穩）；能一眼分解時才用因式法搶時間。

配方法與二次公式

🎉 W9D2 通關！