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HKDSE 數學備考 · S1-S3 重測

S1-S3 全面診斷卷 v2 · 重測（空白卷）

使用方法：建議計時 90 分鐘獨立完成。準備好白紙當答題紙，每題標明題號 + 小題（如 1a、1b、2a...）。完成後到 /diagnostic/ 對答案、自評。

總分 100 分，分 8 個區段：A 數與運算 (16)、B 代數與指數 (18)、C 方程與不等式 (12)、D 坐標與線性 (10)、E 幾何 (16)、F 度量與率 (12)、G 三角比 (6)、H 統計與概率 (10)。

A. 數與運算 · 16 分

1. 計算
4 分
  1. −2 − (−3) × 4 + 8 ÷ (−2)
  2. 56 − 23 × (−98) ÷ 34
2.
5 分
  1. 把 0.6 kg : 900 g 化為最簡整數比。
  2. 一件商品先打 8 折（降 20%），再加價 10%。求最終價格相較原價是貴了還是便宜了？百分比變化是多少？
  3. 某地圖比例尺 1 : 200 000。地圖上 A、B 兩點相距 4.5 cm。求實際距離（單位 km）。
3.
5 分
  1. 一塊正方形地磚邊長 L = 5.7 cm（準確至 0.1 cm）。寫出 L 可能的取值範圍。
  2. 承上題，求這塊地磚面積的嚴格上限（cm²）。
  3. 把 0.0000528 寫成科學記數法（標準式），保留 2 位有效數字。
4.
2 分
化簡：√50 + √8 − √18（化為最簡根式）

B. 代數式、因式分解、指數 · 18 分

5.
4 分
  1. 化簡：2(3x − 5) − 3(x − 2)
  2. 展開：(2x − 3)(x + 4)
6. 因式分解
5 分
  1. 4a²b − 6ab²
  2. x² − 7x + 10
  3. 9x² − 16y²
  4. x² + 6x + 9
7.
4 分
  1. 計算：3⁴ × 3⁻² ÷ 3⁻¹（求數值）
  2. 化簡並去除負指數：(2x³y⁻²)² × x⁻¹y³
8.
3 分
  1. 已知梯形面積公式 A = 12(a + b)h。將 b 表示為 A、a、h 的式子（make b the subject）。
  2. 化簡：x² − 4x² − 4x + 4 × x − 2x + 2
9.
2 分
已知 x = 2 是多項式 P(x) = x³ − 2x² + ax + 6 的一個根。求 a 的值。

C. 方程、不等式、聯立方程 · 12 分

10.
4 分
  1. 解方程：2x − 13 − x + 24 = 1
  2. 解不等式：5 − 2x ≥ 3x + 20，並在數線上表示解集。
11.
4 分
一間文具店有以下兩種購買組合：
  • 3 支筆 + 2 本筆記簿，共 $46
  • 2 支筆 + 5 本筆記簿，共 $60
設每支筆 $p、每本筆記簿 $n。列方程求 p 與 n。
12. 解方程
4 分
  1. x² − 5x + 6 = 0
  2. (x − 4)² = 25

D. 坐標幾何與線性關係 · 10 分

13.
5 分
給定兩點 A(−3, 2) 和 B(5, 6)。
  1. 求直線 AB 的斜率 m。
  2. 求過 A、B 兩點的直線方程（以 y = mx + c 形式寫出）。
  3. 求 AB 的中點，以及線段 AB 的長度（用最簡根式表示）。
14.
5 分
某電訊公司有兩個月費方案，m 表使用分鐘數：
  • 方案 A：月費 $50，每分鐘 $1.5
  • 方案 B：月費 $80，每分鐘 $0.9
  1. 寫出兩個方案的月費 C_A 與 C_B（以 m 表示）。
  2. 求使兩個方案月費相同的 m。
  3. 若某月用了 80 分鐘，哪個方案較便宜？便宜了多少？

E. 幾何 · 16 分

15.
3 分
下圖中，直線 ℓ 過 A 點且平行於 BC。已知 ∠PAB = 50°、∠ACB = 65°。
ℓ P B C A 50° 65°
  1. 求 ∠ABC（請註明理由：用內錯角或同位角）。
  2. 求 ∠BAC。
  3. 判斷 △ABC 是否為等腰三角形，並寫出理由。
16.
5 分
在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 8 cm，BC = 6 cm。從 B 作 BD ⊥ AC 交 AC 於 D。
A B C D 8 cm 6 cm
  1. 用畢氏定理求 AC。
  2. 證明 △ABD ~ △ACB（指出哪個相似條件 AA / SAS / SSS）。
  3. 求 BD 的長度。
17.
4 分
已知 △ABC 與 △DEF 中：AB = DE = 3、∠B = ∠E = 90°、BC = EF = 4。
  1. 應該用哪個全等條件（SSS、SAS、ASA、AAS、RHS）？
  2. 寫出完整的全等證明。
  3. 求 AC 的長度。
18.
4 分
  1. 某正多邊形每個內角為 150°。求邊數 n。
  2. 在平行四邊形 ABCD 中，∠A = 110°。求 ∠B、∠C、∠D，並寫出理由。

F. 度量、體積、表面、速度與變分 · 12 分

19.
5 分
一個扇形的半徑 r = 6 cm，圓心角 θ = 120°。
  1. 求弧長（用 π 表示）。
  2. 求扇形面積（用 π 表示）。
  3. 另有一個圓柱，底面半徑 3 cm，高 10 cm。求其體積。
20.
3 分
  1. 一個圓錐底面半徑 r = 5 cm，高 h = 12 cm。求體積（用 π 表示）。
  2. 一個球半徑 r = 6 cm。求其表面積（用 π 表示）。
21.
4 分
  1. 某人以 8 km/h 走了 0.5 小時，再以 12 km/h 走了 0.25 小時。求他全程的平均速度（km/h，保留 2 位小數）。
  2. 已知 y 與 x 成正比，當 x = 4 時，y = 18。求當 x = 10 時，y 的值。

G. 三角比 · 6 分

22.
6 分
在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，斜邊 AB = 13 cm，BC = 5 cm。
  1. 用畢氏定理求 AC。
  2. 求 sin A、cos A、tan A。
  3. 從一棟大樓底部某水平地面點 P，量度仰角到樓頂為 30°；P 到大樓水平距離為 60 m。求大樓高度（保留 1 位小數）。

H. 統計與概率 · 10 分

23.
4 分
  1. 下表是 30 位學生考試分數的分組數據。求估計平均分（保留 1 位小數）。
    分數區間人數 f
    0 – 93
    10 – 196
    20 – 2912
    30 – 395
    40 – 494
  2. 下列莖葉圖（莖代表十位數，葉代表個位數），求中位數： 
    1 | 2  5  8
2 | 0  3  6  7
3 | 1  4
24.
6 分
一袋中有 4 個紅球與 3 個藍球。連續抽取 2 個球，不放回。
  1. 畫出樹狀圖，標出每個分支的條件機率。
  2. 求 P（兩個都是紅球）。
  3. 求 P（兩球顏色不同）。
  4. 求 P（至少抽到一個藍球）。

★ 重測自我評分表

把每題的得分填入下表，最後加總，然後對比第一次的成績（45.5 / 100）。

區段題號滿分本次得分第一次
A. 數與運算1, 2, 3, 416—
B. 代數式、因式分解、指數5–918—
C. 方程、不等式、聯立10–1212—
D. 坐標幾何與線性13, 1410—
E. 幾何15–1816—
F. 度量、體積、表面、變分19–2112—
G. 三角比226—
H. 統計與概率23, 2410—
總分—10045.5

填好後告訴 Claude，我會幫你做完整的批改 + 進步分析。
📊 最近一次重測批改報告：查看結果（82.5 / 100）。

對答案：完成後到 /diagnostic/ 查看標準答案、步驟分配、易錯點提示。