甲部 多選題（每題 2 分）— 題目不標課題，判分後顯示
1 $i^3(\beta i-3)=$
W9 二次方程 正確答案 A · 當年全港正確率 55%
2 若 $p$ 及 $q$ 均為常數使得 $x^2+p\equiv(x+2)(x+q)+10$，則 $p=$
W11 多項式與餘式定理 正確答案 C · 當年全港正確率 59%
3 若 $z$ 隨 $x$ 反變且隨 $y$ 的立方正變，則下列何者必為常數？
W12 聯立方程與變分 正確答案 C
4 $9\star\blacklozenge$ 為三位數，其中 $\star$ 及 $\blacklozenge$ 均為 $0$ 至 $9$（包括 $0$ 及 $9$）內的整數。求該三位數可被 $5$ 整除的概率。
W20 排列組合與概率 正確答案 A · 當年全港正確率 50%
5 若五個數 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$ 及 $x_5$ 的方差為 13，則 $3x_1+4$、$3x_2+4$、$3x_3+4$、$3x_4+4$ 及 $3x_5+4$ 這五個數的方差為
W21 離差度量與統計應用 正確答案 C · 當年全港正確率 37%
6 $\frac{\sin\theta}{\cos60^\circ}+\frac{\cos(270^\circ-\theta)}{\tan45^\circ}=$
W18 三角學（一） 正確答案 A
7 設 $f(x)$ 為二次函數。若 $y=f(x)$ 的圖像的頂點的坐標為 $(3,-4)$，則下列何者必為正確？
W10 二次函數與圖像 正確答案 C · 當年全港正確率 49%
8 設 $a_n$ 為一等差數列的第 $n$ 項。若 $a_{18}=26$ 及 $a_{23}=61$，則下列何者正確？
I. $a_{14}<0$
II. $a_1-a_2<0$
III. $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}>0$
W14 等差與等比數列 正確答案 A · 當年全港正確率 43%
9 圖中，$AC$ 為圓 $ABCDE$ 的一直徑。若 $\angle ADE=28^\circ$，則 $\angle CBE=$
W16 圓的性質與切線 正確答案 B
10 求 $k$ 值的範圍使得圓 $x^2+y^2+2x-4y-13=0$ 與直線 $x-y+k=0$ 相交於兩相異點。
W17 坐標幾何 正確答案 B · 當年全港正確率 36%
11 $\frac{\cos60^\circ}{1-\cos(90^\circ-\theta)}+\frac{\cos240^\circ}{1-\cos(270^\circ-\theta)}=$
W18 三角學（一） 正確答案 C · 當年全港正確率 51%
12 某戲劇學會由 $12$ 名男生及 $8$ 名女生組成。若從該學會中選出 $5$ 名學生為一隊參加比賽且該隊至少有一名女生，則可組成多少不同的隊？
W20 排列組合與概率 正確答案 B · 當年全港正確率 52%
13 考慮以下的不等式組：
$\begin{cases}x+2y\le20\\7x-6y\le20\\13x+6y\ge20\end{cases}$
設 $R$ 為表示以上的不等式組的解之區域。若 $(x,y)$ 為 $R$ 中的一點，則 $7x+8y+9$ 的最大值為
W15 不等式與線性規劃 正確答案 C · 當年全港正確率 53%
14 若 $\begin{cases}\log_9 y=x-3\\2(\log_9 y)^2=4-x\end{cases}$，則 $y=$
W13 指數與對數 正確答案 D
15 設 $f(x)=3x^{2}+18mx+22m^{2}$，其中 $m$ 為一實常數。下列有關 $y=-f(3x)$ 的圖像之敘述，何者必為正確？
I. 該圖像的頂點的 $x$ 坐標為 $m$。
II. 該圖像的頂點的 $y$ 坐標為 $5m^{2}$。
III. 該圖像的對稱軸的方程為 $x + m = 0$。
W10 二次函數與圖像 正確答案 D · 當年全港正確率 32%
16 圓 $C$ 的方程為 $2x^2+2y^2-4x+8y-5=0$。點 $P$ 及點 $Q$ 的坐標分別為 $(-1,2)$ 及 $(4,0)$。下列何者正確？
I. $C$ 的半徑為 5。
II. $PQ$ 的中點位於 $C$ 以外。
III. 若 $G$ 為 $C$ 的圓心，則 $\angle PGQ$ 為一銳角。
W17 坐標幾何 正確答案 D · 當年全港正確率 36%
17 設 $k$ 為常數。求 $k$ 值的範圍使得對任意實數 $x$，$x^{2}+kx+k+8\geq0$。
W15 不等式與線性規劃 正確答案 B · 當年全港正確率 27%
18 直立角錐體 $VABCD$ 的底為正方形 $ABCD$。設 $\theta$ 為 $\triangle ABV$ 與 $\triangle BCV$ 間的交角。若 $AB:AV = 5:4$，則 $\cos \theta =$
W19 三角學（二）立體 正確答案 A · 當年全港正確率 29%
乙部 解答題 — 須詳細列出解題步驟；證明題須寫出理由
📷 推薦流程：在白紙上像正式考試一樣寫全過程 → 點「拍照」或「上載照片」（可多張）→
「AI 批卷」。也可以直接在文字框逐小問輸入。AI 會按官方評分細則逐步給分、指出失分原因。
B1 3 分
一長方形的長及闊分別為 $24\,\text{cm}$ 及 $(13+r)\,\text{cm}$。若該長方形的對角線的長度為 $(17-3r)\,\text{cm}$，求 $r$。
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W9 二次方程 · 來源 2019-p1-q03
(final) $r=-3$
B2 3 分
已知 $\log_{9} y$ 為 $\log_{3} x$ 的線性函數。將該線性函數的圖像記為 $L$。$L$ 的斜率為 4 及 $L$ 通過點 $(5,22)$。以 $x$ 表 $y$。
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W13 指數與對數 · 來源 2024-p1-q15
(final) $y=81x^8$.
B3 4 分
某盒子內有 5 個紅色碗、6 個黃色碗及 3 個白色碗。若從該盒子中隨機同時抽出 4 個碗，
(a) 求抽出恰好 2 個紅色碗的概率；
(b) 求抽出至少 2 個紅色碗的概率。
- (a) 求抽出恰好 2 個紅色碗的概率。 [2 分]
- (b) 求抽出至少 2 個紅色碗的概率。 [2 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W20 排列組合與概率 · 來源 2015-p1-q16
(a) $\frac{360}{1001}$
(b) $\frac{5}{11}$
B4 5 分
設 $f(x)=4x^3-5x^2-18x+c$，其中 $c$ 為常數。當 $f(x)$ 除以 $x-2$ 時，餘數為 $-33$。
- (a) $x+1$ 是否 $f(x)$ 的因式？試解釋你的答案。 [3 分]
- (b) 某人宣稱方程 $f(x)=0$ 所有的根均為有理數。你是否同意？試解釋你的答案。 [2 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W11 多項式與餘式定理 · 來源 2014-p1-q07
(a) $c=-9$，且 $f(-1)=0$，所以 $x+1$ 是 $f(x)$ 的因式。
(b) 同意；$f(x)=(x+1)(4x+3)(x-3)$，所有根均為有理數。
B5 5 分
點 $P$ 及點 $Q$ 的坐標分別為 $(-3,5)$ 及 $(2,-7)$。$P$ 繞原點 $O$ 逆時針方向旋轉 $270^\circ$ 至 $P'$。$Q$ 向左平移 21 單位至 $Q'$。
- (a) 寫出 $P'$ 及 $Q'$ 的坐標。 [3 分]
- (b) 證明 $PQ$ 垂直於 $P'Q'$。 [2 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W17 坐標幾何 · 來源 2014-p1-q08
(a) $P'=(5,3)$，$Q'=(-19,-7)$。
(b) $m_{PQ}=-\frac{12}{5}$，$m_{P\prime Q\prime}=\frac{5}{12}$，斜率乘積為 $-1$，故 $PQ\perp P\prime Q\prime$。
B6 5 分
已知 $y$ 隨 $\sqrt{x}$ 反變。當 $x=144$ 時，$y=81$。
- (a) 以 $x$ 表 $y$。 [3 分]
- (b) 若 $x$ 的值由 $144$ 增加至 $324$，求 $y$ 的值的改變。 [2 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W12 聯立方程與變分 · 來源 2017-p1-q08
(a) $y=\frac{972}{\sqrt{x}}$
(b) $y$ 的值改變為 $-27$，即減少 $27$。
B7 5 分
- (a) 寫出上述分佈的平均值、中位數及標準差。 [4 分]
- (b) 現有一新生加入該班。該新生所修科目的數目為 $5$。求加入這學生而引致該分佈的中位數的改變。 [1 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W21 離差度量與統計應用 · 來源 2020-p1-q09
(a) 平均值 $=5.4$，中位數 $=5.5$，標準差 $\approx0.917$。
(b) 新的中位數為 $5$，故中位數減少 $0.5$。
C1 7 分
圓 $C$ 的方程為 $x^{2}+y^{2}-12x-16y-69=0$。設 $G$ 為 $C$ 的圓心，將原點記為 $O$。設 $P$ 為直角坐標平面上的一動點使得 $OP=GP$，將 $P$ 的軌跡記為 $\Gamma$。假定 $\Gamma$ 與 $C$ 相交於點 $M$ 及點 $N$。
- (a) 求 $OG$。 [2 分]
- (b) $O$ 是否位於 $C$ 以內？試解釋。 [1 分]
- (c) 求四邊形 $OMGN$ 的面積。 [4 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W17 坐標幾何 · 來源 2021-p1-q13
(a) $OG=10$。
(b) 是；$C$ 的半徑為 $13$，大於 $OG=10$，故 $O$ 位於 $C$ 以內。
(c) 四邊形 $OMGN$ 的面積為 $120$。
C2 8 分
圖 1 中，$O$ 為圓 $ABCDE$ 的圓心。$AC$ 為該圓的一直徑。$BD$ 與 $OC$ 相交於點 $F$。已知 $\angle AED=115^\circ$。
- (a) 求 $\angle CBF$。 [3 分]
- (b) 假定 $BC\parallel OD$ 及 $OB=18\,\text{cm}$。扇形 $OBC$ 的周界是否少於 $60\,\text{cm}$？試解釋你的答案。 [5 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W16 圓的性質與切線 · 來源 2019-p1-q13
(a) $\angle CBF=25^\circ$
(b) 不少於 $60\,\text{cm}$；扇形 $OBC$ 的周界為 $8\pi+36>60$。
C3 7 分
圖 6(a) 顯示以長方形為底的實心角錐體 $VABCD$，其中 $AB=18\text{ cm}$、$BC=10\text{ cm}$、$VB=VC=30\text{ cm}$ 及 $\angle VAB=\angle VDC=110^\circ$。
- (a) 求 $\angle VBA$。 [2 分]
- (b) $P$、$Q$、$M$ 及 $N$ 分別為 $AB$、$CD$、$VB$ 及 $VC$ 的中點。從 $VABCD$ 切去 $PBCQNM$ 造成一幾何模型，如圖 6(b) 所示。某工匠宣稱梯形 $PQNM$ 的面積小於 $70\text{ cm}^2$。你是否同意？試解釋你的答案。 [5 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W19 三角學（二）立體 · 來源 2014-p1-q17
(a) $\angle VBA\approx 35.7^\circ$。
(b) 同意；$MP\approx 9.31\text{ cm}$、$MN=5\text{ cm}$，梯形 $PQNM$ 的面積約為 $67.3\text{ cm}^2<70\text{ cm}^2$。
C4 12 分
某公司在第 1 年的投資金額為 \$4,000,000。在隨後每年，投資金額均較前一年少 $r\%$。在第 4 年的投資金額為 \$1,048,576。該公司在第 1 年的收入為 \$2,000,000，在隨後每年收入均較前一年少 $20\%$。
- (a) 求 $r$。 [2 分]
- (b(i)) 求使該公司總收入多於 \$9,000,000 的所需最少年數。 [4 分]
- (b(ii)) 該公司的總收入會否多於 \$10,000,000？試解釋你的答案。 [2 分]
- (b(iii)) 該公司的經理宣稱該公司的總收入會多於總投資金額。你是否同意？試解釋你的答案。 [4 分]
顯示標準答案（建議批改後再看）▾
W14 等差與等比數列 · 來源 pp-p1-q19
(a) $r=36$
(b(i)) $11$ 年
(b(ii)) 不會；收入等比級數總和小於 $\frac{2,000,000}{1-0.8}=10,000,000$。
(b(iii)) 不同意；對任意正整數 $m$，首 $m$ 年總收入減總投資金額為 $\frac{10,000,000}{9}(10(0.8)^m+1)((0.8)^m-1)<0$。
