🔐
2025 預測卷
本卷僅供家庭內部使用。請輸入家庭口令解鎖（與診斷卷同一口令）。
HKDSE 數學 · 必修部分 · 2025 預測模擬
2025 預測卷（全真模擬）
依 13 年真題規律組卷：題位恆定 · 錨點必考 · 輪動補缺（詳見 W22D6 課程）。 考試流程仿真：先做 卷二（45 題 · 75 分鐘）， 休息後做 卷一（19 題 · 106 分 · 135 分鐘）。 卷一請先在紙上完整書寫再拍照交 AI 批改。
本卷為預測模擬卷：甲部/短題為 AI 依真題風格生成之新題，乙部/壓軸選自 HKDSE 歷屆真題（HKEAA 版權所有），僅供私人學習。
1 $8^{222}\cdot5^{666}=$
正確答案 A · 當年全港正確率 47% · 真題
2 設 $p$ 及 $q$ 均為常數。若 $x^2+p(x+5)+q\equiv(x-2)(x+5)$，則 $q=$
正確答案 A · 真題
3 若 $k=\frac{5}{2m}+n$，則 $m=$
正確答案 A · 當年全港正確率 88% · 真題
4 $\frac{2}{5-4x}-\frac{1}{5+4x}=$
正確答案 C · 當年全港正確率 79% · 真題
5 下列哪一項是 \(6x^2-15x\) 的完全因式分解？
正確答案 A · AI 生成題
\(6x^2-15x\) 的最大公因式為 \(3x\)。
提出 \(3x\)，得 \(6x^2-15x=3x(2x-5)\)。
答案為 A. \(3x(2x-5)\)。
提出 \(3x\)，得 \(6x^2-15x=3x(2x-5)\)。
答案為 A. \(3x(2x-5)\)。
6 存款 \$50 000，年利率 8%，年期 1 年，複利計算，每月一結。求利息準確至最接近的元。
正確答案 D · 當年全港正確率 65% · 真題
7 某店出售同一款水杯。折實總價 \(T\) 元與購買的水杯數目 \(n\) 成正比。若購買 8 個水杯的原價總額為 240 元，而店方給予 15% 折扣，則在同一折扣下購買 14 個水杯的折實總價是多少？
正確答案 C · AI 生成題
設 \(T = kn\)。
購買 8 個水杯的折實總價為 \(240(1-15\%)=204\) 元，故 \(204=8k\)，得 \(k=25.5\)。
當 \(n=14\) 時，\(T=25.5\times 14=357\)。
折實總價為 357 元，答案是 C. 357 元。
購買 8 個水杯的折實總價為 \(240(1-15\%)=204\) 元，故 \(204=8k\)，得 \(k=25.5\)。
當 \(n=14\) 時，\(T=25.5\times 14=357\)。
折實總價為 357 元，答案是 C. 357 元。
8 若 $a$、$b$ 及 $c$ 均為非零常數使得 $x(x+3a)+a\equiv x^2+2(bx+c)$，則 $a:b:c=$
正確答案 A · 當年全港正確率 59% · 真題
9 某活動的場地費由參加者平均分擔。每名參加者須繳的款額 \(y\) 元與參加人數 \(x\) 成反變。若有 24 人參加時，每人須繳 150 元；若參加人數增加 25%，則每人須繳多少元？
正確答案 D · AI 生成題
由 \(y\) 與 \(x\) 成反變，設 \(y=\frac{k}{x}\)。
當 \(x=24\)，\(y=150\)，所以 \(k=24\times150=3600\)。
參加人數增加 25% 後，\(x=24\times1.25=30\)，所以 \(y=\frac{3600}{30}=120\)。
所求款額為 120 元，答案是 D。
當 \(x=24\)，\(y=150\)，所以 \(k=24\times150=3600\)。
參加人數增加 25% 後，\(x=24\times1.25=30\)，所以 \(y=\frac{3600}{30}=120\)。
所求款額為 120 元，答案是 D。
10 設 \(f(x)=x^2-2ax+b\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。已知 \(f(2)=f(10)\)，且方程 \(f(x)=3\) 只有一個實根。求 \(f(0)\)。
正確答案 C · AI 生成題
由 \(f(2)=f(10)\)，得 \(4-4a+b=100-20a+b\)，所以 \(a=6\)。
方程 \(f(x)=3\) 只有一個實根，即 \(x^2-12x+b-3=0\) 有相等實根。
判別式為零：\((-12)^2-4(b-3)=0\)，得 \(b=39\)。
因此 \(f(0)=b=39\)，答案為 C。
方程 \(f(x)=3\) 只有一個實根，即 \(x^2-12x+b-3=0\) 有相等實根。
判別式為零：\((-12)^2-4(b-3)=0\)，得 \(b=39\)。
因此 \(f(0)=b=39\)，答案為 C。
11 設 $f(x)=3x^2-6x+k$，其中 $k$ 為一常數。若 $y=f(x)$ 的圖像的頂點的 $y$ 坐標為 7，則 $k=$
正確答案 D · 真題
12 設 \(x\) 為整數，且 \(-2 \leq x < 4\)。若不等式 \(2k < 3x+1\) 對所有可能的 \(x\) 均成立，則 \(k\) 的範圍是
正確答案 D · AI 生成題
由 \(-2 \leq x < 4\) 且 \(x\) 為整數，得 \(x=-2,-1,0,1,2,3\)。
要使 \(2k < 3x+1\) 對所有可能的 \(x\) 均成立，只須考慮 \(3x+1\) 的最小值。
當 \(x=-2\) 時，\(3x+1=-5\)，所以 \(2k<-5\)。
因此 \(k<-\frac{5}{2}\)，答案為 D。
要使 \(2k < 3x+1\) 對所有可能的 \(x\) 均成立，只須考慮 \(3x+1\) 的最小值。
當 \(x=-2\) 時，\(3x+1=-5\)，所以 \(2k<-5\)。
因此 \(k<-\frac{5}{2}\)，答案為 D。
13 設 $f(x)=x^{13}-2x+k$，其中 $k$ 為常數。若 $f(x)$ 可被 $x+1$ 整除，求當 $f(x)$ 除以 $x-1$ 時的餘數。
正確答案 D · 當年全港正確率 66% · 真題
14 設 \(f(x)=(x-3)^2-4\)，其中 \(1\leq x<6\)。求 \(f(x)\) 的值域。
正確答案 D · AI 生成題
由 \(f(x)=(x-3)^2-4\)，當 \(x=3\) 時，\(f(x)\) 取得最小值 \(-4\)。
在區間 \(1\leq x<6\) 中，右端點 \(6\) 不包括；當 \(x\) 趨近 \(6\) 時，\(f(x)\) 趨近 \(5\)，但不等於 \(5\)。
故 \(f(x)\) 的值域為 \(-4\leq f(x)<5\)。
在區間 \(1\leq x<6\) 中，右端點 \(6\) 不包括；當 \(x\) 趨近 \(6\) 時，\(f(x)\) 趨近 \(5\)，但不等於 \(5\)。
故 \(f(x)\) 的值域為 \(-4\leq f(x)<5\)。
15 一條幼繩的長度量得 $25\,m$ 準確至最接近的 $m$。若將該繩分割為 $n$ 條使每條均量得 $5\,cm$ 準確至最接近的 $cm$，求 $n$ 的最大可取值。
正確答案 B · 當年全港正確率 49% · 真題
16 在一個半徑為 \(6\) cm 的圓中，兩條半徑夾成 \(60^\circ\) 的扇形。若陰影部分為該扇形中由弧和弦圍成的圓弓形，求陰影部分的面積。
正確答案 D · AI 生成題
扇形面積 \(=\frac{60}{360}\times \pi \times 6^2=6\pi\) cm\(^2\)。
兩半徑與弦所成三角形為邊長 \(6\) cm 的等邊三角形，其面積 \(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}\) cm\(^2\)。
陰影部分面積 \(=6\pi-9\sqrt{3}\) cm\(^2\)，答案為 D。
兩半徑與弦所成三角形為邊長 \(6\) cm 的等邊三角形，其面積 \(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}\) cm\(^2\)。
陰影部分面積 \(=6\pi-9\sqrt{3}\) cm\(^2\)，答案為 D。
17 一袋中有 4 個紅球和 2 個藍球。現從袋中不放回地隨機抽出兩個球。兩個球顏色相同的概率是多少？
正確答案 C · AI 生成題
把 6 個球視為不同的球，抽出兩個球的總方法數為 \(\binom{6}{2}=15\)。
兩個球顏色相同的方法數為 \(\binom{4}{2}+\binom{2}{2}=6+1=7\)。
所求概率為 \(\frac{7}{15}\)，故答案為 C。
兩個球顏色相同的方法數為 \(\binom{4}{2}+\binom{2}{2}=6+1=7\)。
所求概率為 \(\frac{7}{15}\)，故答案為 C。
18 某兩實心半球體的總表面面積之和為 $351\pi\text{ cm}^{2}$。若較小的半球體的半徑與較大的半球體的半徑之比為 $2:3$，則該兩半球體的體積之差為
正確答案 A · 當年全港正確率 34% · 真題
19 下列有關正 $12$ 邊形的敘述，何者正確？
I. 每一外角均為 $30^\circ$。
II. 每一內角均為 $150^\circ$。
III. 反射對稱軸的數目為 $6$。
I. 每一外角均為 $30^\circ$。
II. 每一內角均為 $150^\circ$。
III. 反射對稱軸的數目為 $6$。
正確答案 A · 當年全港正確率 43% · 真題
20 若一正多邊形的內角和為 $900^\circ$，則下列何者正確？
I. 該多邊形的對角線數目為 7。
II. 該多邊形的旋轉對稱的階數為 7。
III. 該多邊形的反射對稱軸的數目為 7。
I. 該多邊形的對角線數目為 7。
II. 該多邊形的旋轉對稱的階數為 7。
III. 該多邊形的反射對稱軸的數目為 7。
正確答案 D · 當年全港正確率 46% · 真題
21 $\triangle ABC$ 中，$AB:BC:AC=8:15:17$。求 $\cos A:\cos C$。
正確答案 A · 當年全港正確率 48% · 真題
22 若 $0^\circI. $\tan x\tan(90^\circ-x)=1$
II. $\sin x-\sin(90^\circ-x)<0$
III. $\cos x+\cos(90^\circ-x)>0$
II. $\sin x-\sin(90^\circ-x)<0$
III. $\cos x+\cos(90^\circ-x)>0$
正確答案 B · 當年全港正確率 56% · 真題
23 圓 \(\Gamma\) 的方程為 \((x-2)^2+(y+1)^2=25\)。點 \(P(k,7)\)，其中 \(k>2\)。由 \(P\) 向 \(\Gamma\) 作兩條切線，切點分別為 \(A\) 及 \(B\)。若直線 \(AB\) 截 \(x\) 軸於 \((\frac{25}{4},0)\)，求該兩條切線斜率之和。
正確答案 B · AI 生成題
圓心為 \(C(2,-1)\)，半徑為 \(5\)。設切點為 \((x,y)\)，由半徑與切線垂直，接觸弦 \(AB\) 滿足 \((x-2)(k-2)+8(y+1)=25\)。
把 \((\frac{25}{4},0)\) 代入，得 \(\frac{17}{4}(k-2)+8=25\)，所以 \(k=6\)。
設切線斜率為 \(m\)，其方程為 \(y-7=m(x-6)\)。圓心到切線的距離為半徑，故 \(\frac{|8-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=5\)。
平方並整理得 \(9m^2+64m-39=0\)，所以兩條切線斜率之和為 \(-\frac{64}{9}\)。
把 \((\frac{25}{4},0)\) 代入，得 \(\frac{17}{4}(k-2)+8=25\)，所以 \(k=6\)。
設切線斜率為 \(m\)，其方程為 \(y-7=m(x-6)\)。圓心到切線的距離為半徑，故 \(\frac{|8-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=5\)。
平方並整理得 \(9m^2+64m-39=0\)，所以兩條切線斜率之和為 \(-\frac{64}{9}\)。
24 點 $A$ 及點 $B$ 的坐標分別為 $(2,5)$ 及 $(4,-1)$。設 $P$ 為直角坐標平面上的一動點使得 $AP=BP$。求 $P$ 的軌跡的方程。
正確答案 A · 當年全港正確率 54% · 真題
25 圓 $ABCD$ 的直徑 $AC$ 與直徑 $BD$ 相交於點 $E$。若 $\angle AEB=90^\circ$ 及 $AC=24\text{ cm}$，則 $\Delta AEB$ 的面積為
正確答案 B · 當年全港正確率 73% · 真題
26 扇形 $OAB$ 的面積為 $\pi\text{ cm}^{2}$，其中 $O$ 為扇形 $OAB$ 的圓心。若 $\angle AOB=90^{\circ}$，則下列何者正確？
I. 扇形 $OAB$ 的半徑為 $2\text{ cm}$。
II. 扇形 $OAB$ 的周界為 $\pi\text{ cm}$。
III. 通過 $O$、$A$ 及 $B$ 的圓的面積為 $2\pi\text{ cm}^{2}$。
I. 扇形 $OAB$ 的半徑為 $2\text{ cm}$。
II. 扇形 $OAB$ 的周界為 $\pi\text{ cm}$。
III. 通過 $O$、$A$ 及 $B$ 的圓的面積為 $2\pi\text{ cm}^{2}$。
正確答案 B · 當年全港正確率 50% · 真題
27 在坐標平面上，點 \(P(x,y)\) 到點 \(A(2,-1)\) 的距離不大於它到點 \(B(-4,3)\) 的距離，且 \(P\) 位於直線 \(y=1\) 的上方或在該直線上。下列哪一組不等式表示 \(P\) 的可能位置？
正確答案 D · AI 生成題
由題意，\((x-2)^2+(y+1)^2\leq (x+4)^2+(y-3)^2\)。
展開並化簡得 \(-12x+8y-20\leq 0\)，即 \(3x-2y\geq -5\)。
\(P\) 位於直線 \(y=1\) 的上方或在該直線上，所以 \(y\geq 1\)。
答案為 D. \(3x-2y\geq -5,\ y\geq 1\)。
展開並化簡得 \(-12x+8y-20\leq 0\)，即 \(3x-2y\geq -5\)。
\(P\) 位於直線 \(y=1\) 的上方或在該直線上，所以 \(y\geq 1\)。
答案為 D. \(3x-2y\geq -5,\ y\geq 1\)。
28 某組 6 個數據為 \(12,15,18,20,x,25\)，其平均數為 \(19\)。以下哪項正確描述該組數據的中位數與平均數的關係？
正確答案 B · AI 生成題
6 個數據的總和為 \(6\times19=114\)。
\(x=114-(12+15+18+20+25)=24\)。
按大小排列後為 \(12,15,18,20,24,25\)，中位數為 \(\frac{18+20}{2}=19\)。
故中位數等於平均數，答案為 B。
\(x=114-(12+15+18+20+25)=24\)。
按大小排列後為 \(12,15,18,20,24,25\)，中位數為 \(\frac{18+20}{2}=19\)。
故中位數等於平均數，答案為 B。
29 考慮以下數據：$19,10,12,12,13,13,14,15,16,m,n$。若以上數據的平均值及中位數均為 $14$，則下列何者正確？
I. $m\ge14$
II. $n\le16$
III. $m+n=30$
I. $m\ge14$
II. $n\le16$
III. $m+n=30$
正確答案 D · 當年全港正確率 47% · 真題
30 一袋中有 9 張卡，每張卡分別寫上 1 至 9 中的一個整數。現從袋中隨機同時抽出 2 張卡。抽出的兩數之和為偶數的概率是多少？
正確答案 C · AI 生成題
共有 \(\binom{9}{2}=36\) 種等可能抽法。
兩數之和為偶數，即兩數同為奇數或同為偶數；有利抽法數目為 \(\binom{5}{2}+\binom{4}{2}=10+6=16\)。
所求概率為 \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)，故答案為 C. \(\frac{4}{9}\)。
兩數之和為偶數，即兩數同為奇數或同為偶數；有利抽法數目為 \(\binom{5}{2}+\binom{4}{2}=10+6=16\)。
所求概率為 \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)，故答案為 C. \(\frac{4}{9}\)。
31 下列有關 $y=2(6-x)^{2}-7$ 的圖像之敘述，何者正確？
正確答案 A · 當年全港正確率 67% · 真題
32 三個數式的 H.C.F. 及 L.C.M. 分別為 $ab^2$ 及 $4a^4b^5c^6$。若第一個數式及第二個數式分別為 $2a^2b^4c$ 及 $4a^4b^2c^6$，則第三個數式為
正確答案 B · 當年全港正確率 55% · 真題
33 已知 $\log_9 y$ 為 $\log_3 x$ 的線性函數。該線性函數的圖像在垂直軸上的截距及在水平軸上的截距分別為 $7$ 及 $8$。下列何者必為正確？
正確答案 B · 當年全港正確率 34% · 真題
34 若 $\beta$ 為一實數，則 $\frac{\beta^2+4}{\beta+2i}=$
正確答案 A · 真題
35 某數列的第 $n$ 項為 $2n-19$。下列何者正確？
I. 25 為該數列的其中一項。
II. 該數列有 10 個負值項。
III. 該數列的首 $n$ 項之和為 $n^2-18n$。
I. 25 為該數列的其中一項。
II. 該數列有 10 個負值項。
III. 該數列的首 $n$ 項之和為 $n^2-18n$。
正確答案 C · 當年全港正確率 47% · 真題
36 考慮以下的不等式組：$\begin{cases}x\geq2\\y\geq0\\x+4y\leq22\\4x-y\leq20\end{cases}$。設 $D$ 為表示以上不等式組的解之區域。若 $(x,y)$ 為 $D$ 中的一點，則 $3y-4x+15$ 的最大值為
正確答案 C · 當年全港正確率 46% · 真題
37 求 $k$ 值的範圍使得圓 $x^2+y^2+2x-2y-7=0$ 與直線 $3x-4y+k=0$ 相交。
正確答案 B · 當年全港正確率 37% · 真題
38 若直線 $x-y=k$ 與圓 $x^2+y^2+2x-4y-1=0$ 相交於 $A$ 及 $B$，則 $AB$ 的中點的 $x$ 坐標為
正確答案 C · 真題
39 點 $A$ 及點 $B$ 的坐標分別為 $(9,-2)$ 及 $(-1,8)$。若 $C$ 為直線 $x-2y=0$ 上的一點使得 $AC=BC$，則 $C$ 的 $x$ 坐標為
正確答案 B · 當年全港正確率 37% · 真題
40 若 $\triangle ABC$ 為一直角三角形且 $\angle ABC=90^\circ$，則下列何者正確？
I. $\triangle ABC$ 的垂心在 $AC$ 上。
II. $\triangle ABC$ 的形心位於 $\triangle ABC$ 以內。
III. $\triangle ABC$ 的內心位於 $\triangle ABC$ 以外。
I. $\triangle ABC$ 的垂心在 $AC$ 上。
II. $\triangle ABC$ 的形心位於 $\triangle ABC$ 以內。
III. $\triangle ABC$ 的內心位於 $\triangle ABC$ 以外。
正確答案 B · 當年全港正確率 44% · 真題
41 某班有 13 名男生及 17 名女生。若從該班中選出 2 名男生及 3 名女生為一隊參與義工服務，則可組成多少不同的隊？
正確答案 B · 真題
42 某盒子中有六個球，該六個球分別記有數字 $7,8,8,9,9,9$。$\underline{\text{偉明}}$ 從該盒子中隨機重複取球，每次只取出一個且不放回該盒子中，直至取出的數字是 $9$ 為止。求他需要取球恰好三次的概率。
正確答案 D · 當年全港正確率 56% · 真題
43 設 $m_1$、$r_1$ 及 $v_1$ 分別為某組數 $\{x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{100}\}$ 的平均值、分佈域及方差。若 $m_2$、$r_2$ 及 $v_2$ 分別為 $\{x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{100},m_1\}$ 這組數的平均值、分佈域及方差，則下列何者必為正確？
I. $m_1=m_2$
II. $r_1=r_2$
III. $v_1=v_2$
I. $m_1=m_2$
II. $r_1=r_2$
III. $v_1=v_2$
正確答案 A · 當年全港正確率 36% · 真題
44 在某考試，文俊獲得 55 分且他的標準分為 -3，而小麗獲得 95 分且她的標準分為 2。求考試分數的平均值。
正確答案 D · 真題
45 $AD000002012_{16}=$
正確答案 A · 當年全港正確率 64% · 真題
📷 像正式考試一樣在白紙上寫全過程（每題標清題號小問）→ 拍照上載（可多張）→ AI 按官方評分細則逐步給分。
也可逐小問輸入文字。批改結果自動保存。
Q1 3 分
化簡 \(\dfrac{(4a^{-2}b^3)^2}{8a^{-5}b}\)，並以正指數表示答案。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：指數冪化簡 · 來源 AI 生成
(final) \(2ab^5\)
Q2 2 分
已知 \(m=5a-na\)。以 \(a\) 為公式主項。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：公式變換 · 來源 AI 生成
(final) \(a=\frac{m}{5-n}\)
Q3 4 分
將下列各式因式分解。
- ((a)) \(6x+9\) [1 分]
- ((b)) \(y^2-16\) [1 分]
- ((c)) \(2a^2+8a\) [1 分]
- ((d)) \(m^2+5m+6\) [1 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：因式分解 · 來源 AI 生成
(final) (a) \(3(2x+3)\)；(b) \((y-4)(y+4)\)；(c) \(2a(a+4)\)；(d) \((m+2)(m+3)\)
Q4 4 分
陳先生把 18000 元存入銀行，年利率為 3.2%，每半年複利一次。2 年後，陳先生所得的利息為多少元？答案須準確至最接近的元。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：複利與準確值 · 來源 AI 生成
(final) 1180 元
Q5 4 分
某貨品的標價 \(P\) 元與其成本 \(C\) 元成正比。已知當成本為 180 元時，標價為 234 元。若另一件同類貨品的成本為 250 元，求其標價。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：百分數應用 · 來源 AI 生成
(final) 325 元
Q6 4 分
設 \(a\) 為常數。已知對所有滿足 \(-4 \leq x < 7\) 的整數 \(x\)，不等式 \(3x-2<2a+5\) 均成立。求 \(a\) 的取值範圍，並求 \(a\) 的最小整數值。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：不等式+整數解 · 來源 AI 生成
(final) \(a>\frac{11}{2}\)；最小整數值為 \(6\)
Q7 4 分
某店售賣一類商品，其利潤 \(P\) 元與成本 \(C\) 元成正比例。當成本為 720 元時，利潤為售價的 \(20\%\)。求當成本為 990 元時，該商品的售價。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：比例/角 · 來源 AI 生成
(final) 1237.5 元
Q8 5 分
圖 1 中，$ABCD$ 為一圓。$E$ 為 $AC$ 上的一點使得 $BC=CE$。已知 $AB=AD$、$\angle ADB=58^\circ$ 及 $\angle CBD=25^\circ$。求 $\angle BDC$ 及 $\angle ABE$。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：圓與等腰三角形求角 · 來源 真題 2015-p1-q08
(final) $\angle BDC=39^\circ$，$\angle ABE=22^\circ$
Q9 4 分
九名學生在一次小測中的得分為 6，11，7，\(x\)，8，4，12，7，10。已知這九個得分的平均數為 8。求 \(x\)，並判斷這九個得分的中位數是否大於平均數。
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：統計分佈表 · 來源 AI 生成
(final) \(x=7\)；中位數為 7，並不大於平均數。
Q10 6 分
當蔡姍在某月售出 $n$ 個手袋時，她該月的收入是 \$$S$。已知 $S$ 為兩部分之和，一部分為常數，而另一部分隨 $n$ 正變。當 $n=10$ 時，$S=10\,600$；當 $n=6$ 時，$S=9\,000$。
(a) 當蔡姍在某月售出 20 個手袋時，求她該月的收入。
(b) 當蔡姍在某月售出若干個手袋時，她該月的收入有沒有可能是 \$18\,000？試解釋你的答案。
(a) 當蔡姍在某月售出 20 個手袋時，求她該月的收入。
(b) 當蔡姍在某月售出若干個手袋時，她該月的收入有沒有可能是 \$18\,000？試解釋你的答案。
- (a) 求售出 20 個手袋時的收入。 [4 分]
- (b) 判斷收入是否可能是 \$18\,000 並解釋。 [2 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：部分變分 · 來源 真題 2015-p1-q10
(a) $14\,600$
(b) 沒有可能；由 $6600+400n=18000$ 得 $n=28.5$，不是整數。
Q11 8 分
甲組共有 9 名學生參加一次測驗，其分數由小至大排列如下：42，49，54，57，\(x\)，63，68，72，75。已知甲組的平均分為 60 分。乙組共有 10 名學生參加同一測驗，其分數由小至大排列如下：45，50，52，58，59，61，64，69，73，79。
- ((a)) 求 \(x\) 的值。 [2 分]
- ((b)) 分別求甲組及乙組分數的中位數。 [2 分]
- ((c)) 分別求甲組及乙組分數的四分位距。 [3 分]
- ((d)) 根據四分位距，判斷哪一組的分數較分散。 [1 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：統計鐵律題 · 來源 AI 生成
(final) (a) \(x=60\)；(b) 甲組中位數為 60 分，乙組中位數為 60 分；(c) 甲組四分位距為 18.5 分，乙組四分位距為 17 分；(d) 甲組分數較分散。
Q12 7 分
圓 $C$ 通過點 $A(6,11)$ 且 $C$ 的圓心為點 $G(0,3)$。
- (a) 求 $C$ 的方程。 [2 分]
- (b(i)) 點 $P$ 為直角坐標平面上的一動點使得 $AP=GP$。將 $P$ 的軌跡記為 $\Gamma$。
求 $\Gamma$ 的方程。 [ 分] - (b(ii)) 描述 $\Gamma$ 與線段 $AG$ 之間的幾何關係。 [ 分]
- (b(iii)) 若 $\Gamma$ 與 $C$ 相交於 $Q$ 及 $R$，求四邊形 $AQGR$ 的周界。 [ 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：圓方程小題 · 來源 真題 2014-p1-q12
(a) $x^2+(y-3)^2=100$。
(b(i)) $3x+4y-37=0$。
(b(ii)) $\Gamma$ 是線段 $AG$ 的垂直平分線。
(b(iii)) 四邊形 $AQGR$ 的周界為 $40$。
Q13 7 分
多項式 $p(x)$ 可被 $x-5$ 整除。當 $p(x)$ 除以 $x^{2}+x+1$ 時，商式及餘式分別為 $2x^{2}-37$ 及 $cx+c-1$，其中 $c$ 為一常數。
- (a) 求 $c$。 [3 分]
- (b) 證明 $x+3$ 為 $p(x)$ 的因式。 [1 分]
- (c) 某人宣稱方程 $p(x)=0$ 所有的根均為實數。該宣稱是否正確？試解釋。 [3 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：多項式除法定理 · 來源 真題 2021-p1-q12
(a) $c=-67$。
(b) 代入可得 $p(-3)=0$，故 $x+3$ 為 $p(x)$ 的因式。
(c) 不正確；$p(x)=(x+3)(x-5)(2x^{2}+6x+7)$，而 $2x^{2}+6x+7=0$ 的判別式 $=-20<0$，故並非所有根均為實數。
Q14 8 分
某實心金屬直立圓錐體的底半徑及曲面面積分別為 $14\,\text{cm}$ 及 $700\pi\,\text{cm}^2$。
- (a) 求該圓錐體的高。 [3 分]
- (b) 將該圓錐體以一平行於其底的平面分成一直立圓錐體 $X$ 及一平截頭體 $Y$。$Y$ 的曲面面積為 $X$ 的曲面面積之 15 倍。 [5 分]
- (b(i)) 以 $\pi$ 表 $Y$ 的體積。 [ 分]
- (b(ii)) 若把 $Y$ 熔化，並重鑄成 2 個完全相同的實心球體，求每個球體的直徑。 [ 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：立體量度 · 來源 真題 2023-p1-q14
(a) The height of the cone is $48\,\text{cm}$.
(b(i)) The volume of $Y$ is $3087\pi\,\text{cm}^3$.
(b(ii)) The diameter of each sphere is $21\,\text{cm}$.
Q15 4 分
$7$ 名教師與 $3$ 名學生隨機排成一隊。
- (a) 可排成多少不同的隊？ [1 分]
- (b) 求沒有學生在該隊中相鄰而排的概率。 [3 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：排列+概率 · 來源 真題 2021-p1-q15
(a) 可排成 $10!=3628800$ 隊。
(b) 沒有學生相鄰的概率為 $\frac{7}{15}$。
Q16 5 分
某等比數列的第 3 項及第 4 項分別為 720 及 864。
(a) 求該數列的第 1 項。
(b) 求 $n$ 的最大值，使得第 $(n+1)$ 項與第 $(2n+1)$ 項之和小於 $5\times10^{14}$。
(a) 求該數列的第 1 項。
(b) 求 $n$ 的最大值，使得第 $(n+1)$ 項與第 $(2n+1)$ 項之和小於 $5\times10^{14}$。
- (a) 求第 1 項。 [2 分]
- (b) 求符合不等式的 $n$ 的最大值。 [3 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：等比數列（回歸） · 來源 真題 2018-p1-q16
(a) $500$
(b) $75$
Q17 7 分
設 $A(n)$ 為一等差數列的第 $n$ 項。已知 $A(5)=26$ 及 $A(12)=61$。假定對任意正整數 $n$，$\log_{2}G(n)=A(n)$。
- (a) 求 $A(1)$。 [2 分]
- (b) 求 $k$ 的最大值使得 $\log_{8}(G(1)G(2)G(3)\cdots G(k))<999$。 [5 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：等差+對數綜合 · 來源 真題 2021-p1-q17
(a) $A(1)=6$。
(b) $k$ 的最大值為 $33$。
Q18 8 分
圖 3(a) 顯示一張三角形紙卡 $ABC$，其中 $AB=28$ cm、$BC=21$ cm 及 $AC=35$ cm。設 $M$ 為 $AC$ 上的一點使得 $\angle BMC=75^\circ$。文俊將紙卡沿 $BM$ 摺起，使得 $AB$ 及 $BC$ 均位於水平地面上，如圖 3(b) 所示。已知 $\angle AMC=107^\circ$。
- (a(i)) 求 $\angle BCM$。 [1 分]
- (a(ii)) 求 $CM$。 [2 分]
- (b(i)) 求在水平地面上 $A$ 與 $C$ 間的距離。 [2 分]
- (b(ii)) 設 $N$ 為 $BC$ 上的一點使得 $MN\perp BC$。文俊宣稱面 $BCM$ 與水平地面間的交角為 $\angle ANM$。你是否同意？試解釋你的答案。 [3 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：立體三角（摺紙成立體） · 來源 真題 2013-p1-q18
(a(i)) $\angle BCM\approx53.1^\circ$。
(a(ii)) $CM\approx17.1$ cm。
(b(i)) 水平地面上 $AC\approx28.1$ cm。
(b(ii)) 不同意；可得 $N$ 不是從 $A$ 向 $BC$ 作垂線的垂足，故 $\angle ANM$ 不是面 $BCM$ 與水平地面的交角。
Q19 12 分
圓 C 的圓心的坐標為 $(8,2)$。將 C 的半徑記為 $r$。設 L 為直線 $kx-5y-21=0$，其中 $k$ 為一常數。已知 L 為 C 的切線。
(a) 求 C 的方程，答案以 $r$ 表示。由此，以 $k$ 表示 $r^2$。
(b) L 通過點 $D(18,39)$。
(i) 求 $r$。
(ii) 已知 L 與 $y$ 軸相交於點 E。設 F 為一點使得 C 為 $\triangle DEF$ 的內切圓。$\triangle DEF$ 是否一鈍角三角形？試解釋你的答案。
(a) 求 C 的方程，答案以 $r$ 表示。由此，以 $k$ 表示 $r^2$。
(b) L 通過點 $D(18,39)$。
(i) 求 $r$。
(ii) 已知 L 與 $y$ 軸相交於點 E。設 F 為一點使得 C 為 $\triangle DEF$ 的內切圓。$\triangle DEF$ 是否一鈍角三角形？試解釋你的答案。
- (a) 求圓方程及以 $k$ 表示 $r^2$。 [4 分]
- (b(i)) 求 $r$。 [ 分]
- (b(ii)) 判斷三角形是否鈍角。 [ 分]
顯示答案與考點（建議批改後再看）▾
預測考點：圓方程壓軸（切線） · 來源 真題 2018-p1-q19
(a) $(x-8)^2+(y-2)^2=r^2$，且 $r^2=\frac{(8k-31)^2}{k^2+25}$。
(b(i)) $r=5$
(b(ii)) 是。由答案解得 $\angle DFE\approx105.8^\circ>90^\circ$，故為鈍角三角形。