第 22 週 · 應試銜接 · 第 4 節

P1 乙部壓軸攻略：Q15–19 破題套路

乙部 35 分是 4 分與 5** 的分水嶺，但 13 年題位規律穩定得驚人：計數概率、等比、等差×對數、立體三角、圓方程壓軸 —— <u>每個題位都有固定套路</u>。這節逐位拆解，目標：每題啃下 (a) 小問＋完整拿下兩道。

▶ 第一關： Q15–Q16 計數與等比 —— 一問定判與流水線

▶ 第二關： Q17 等差×對數 —— log 是把連乘變連加的橋

▶ 第三關： Q18 立體三角 —— 畫切算答四步法

⚔ BOSS 第四關： Q19 圓方程壓軸全解剖

板書六（12 分壓軸全程示範）：圓 C：x² + y² − 16x − 4y + 52 = 0；直線 L：kx − 3y + 18 = 0 與 C 相切。

(a) 求 k。圓心 G = (8, 2)，r = √(8² + 2² − 52) = √16 = 4。寫 d = r：|8k − 3×2 + 18| ÷ √(k² + 9) = 4 → |8k + 12| = 4√(k² + 9) → 兩邊平方：64k² + 192k + 144 = 16k² + 144 → 48k² + 192k = 0 → 48k(k + 4) = 0 → k = 0 或 k = −4。

(b) 求兩個切點。k = 0：L₁ 是 y = 6（水平線），切點在圓心正上方 → T₁ = (8, 6)。k = −4：L₂ 是 4x + 3y − 18 = 0，過 G 作 L₂ 的垂線（斜率 3/4）：y − 2 = (3/4)(x − 8)，與 L₂ 聯立解得 T₂ = (24/5, −2/5)。

(c) 兩切線交點 P：把 y = 6 代入 L₂ → 4x + 18 − 18 = 0 → x = 0 → P = (0, 6)。求四邊形 PT₁GT₂ 的面積：PG = √(8² + 4²) = √80；切線長 PT₁ = √(PG² − r²) = √(80 − 16) = 8。因為「切線 ⊥ 過切點的半徑」，四邊形被 PG 分成兩個全等直角三角形 → 面積 = 2 × ½ × 8 × 4 = 32。

回頭看：(a) 只用了「d = r」一個動作；(b) 是作垂線＋聯立；(c) 靠「切線 ⊥ 半徑」＋切線長公式把面積拆成直角三角形 —— 每一步都是老朋友，串起來就是 12 分。

⚔ 乙部五題位 · 破題速查：

Q15 計數概率：調換次序算不算新結果 → P／C 一問定判；「至少」→ 全部 − 完全沒有。

Q16 等比：r = 後項÷前項 → a(1) → S(n) → 解 rⁿ 不等式（取 log 或試值；求最小向上取、求最大向下取）。

Q17 等差×對數：聯立求 a、d → log 把連乘變連加 → S(n) = n[2a + (n−1)d]/2 → 二次不等式求 n 最值。

Q18 立體三角：畫→切→算→答；線面角 = 斜線與投影的夾角；二面角 = 兩面內垂直於棱的兩線夾角；摺紙 = 跨摺痕的長度會變。

Q19 圓壓軸：切線用 d = r（或 Δ = 0）；兩圓外切 d = r₁ + r₂、內切 d = |r₁ − r₂|；收尾用「切線 ⊥ 半徑」＋切線長 √(PG² − r²) 拆面積。

目標重申：五題全部啃下 (a)＋完整拿下兩道 = 乙部 15–20 分到手。

P1 乙部壓軸攻略：Q15–19 破題套路

🎉 乙部五大套路 · 全部拆解完成！