第 22 週 · 應試銜接 · 第 3 節

P1 甲部(2)：中題攻略與過程書寫

你此前只練過「填最終答案」—— 但 DSE 大題是<u>按步給分</u>的：方法對就有 M 分、數值對才有 A 分。這節教你讀懂 marking scheme 的給分邏輯，用「書寫六誡」寫出滿分卷面；同一道 7 分題，會寫和不會寫可以差 3、4 分。

▶ 第一關：讀懂 marking scheme —— M 分與 A 分

滿分卷面「書寫六誡」（從今天起每道大題都照做）：

① 每行只推進一個等號：一行一步、等號豎向對齊，讓閱卷員一眼看清邏輯鏈。

② 新字母必寫「設」：「設 S = c + kn」「設高為 h cm」—— 字母不聲明，方法分沒起點。

③ 帶單位：長度 cm、面積 cm²、體積 cm³、角度 ° —— 最終答案漏單位可被扣分。

④ 結論句「∴ …」：最後一行用「∴」完整回應題目問什麼（問高就答「∴ 高為 48 cm」）。

⑤ 除法要看除數：除以數字隨便除；除以含字母的式子必須先說明它 ≠ 0。分數不化簡一般不扣，但題目指定「最簡」時例外。

⑥ 字跡清楚、劃改規範：寫錯用一條橫線劃掉重寫，不塗黑團、不疊寫 —— 閱卷員看不清 = 沒寫。

▶ 第二關： Q10 變分建模 + Q11 統計鐵律題

Q11 統計鐵律題 · 兩件武器：

① 分佈表三算：均值 = Σ(數值 × 頻數) ÷ 總頻數；眾數 = 頻數最大的那個值；中位數靠累積頻數定位 —— n 個已排序數據：n 是奇數 → 第 (n+1)/2 個；n 是偶數 → 第 n/2 和第 (n/2 + 1) 個的平均。

② 「加入新數據後變不變」判斷法（每年必問）：
• 均值：新均值 = (舊總和 + 新值) ÷ (n + 1) —— 新值 > 舊均值 → 升；新值 < 舊均值 → 降；相等 → 不變。
• 中位數：看位置！n 從偶變奇（如 40 → 41），中位數從「第 20、21 個的平均」變成「第 21 個」（看上圖）—— 用累積頻數查那個位置的值，答案常常是不變。
• 標準差：看離散度方向 —— 新值遠離均值 → 數據更散 → σ 升；新值恰等於均值 → 偏差平方和不變但 n 變大 → σ 降。

板書 ③（Q11 全真規格，分佈表）：40 名學生測驗得分：1 分 6 人、2 分 10 人、3 分 12 人、4 分 8 人、5 分 4 人。(a) 求均值、眾數、中位數。(b) 再有 1 名得 5 分的學生加入，三個統計量各有何變化？

(a) 均值 = (1×6 + 2×10 + 3×12 + 4×8 + 5×4) ÷ 40 = 114 ÷ 40 = 2.85 [1M 求和式 + 1A]；眾數 = 3（12 人最多）[1A]；中位數：40 個 → 第 20、21 個的平均；累積頻數：≤2 分共 16 人、≤3 分共 28 人 → 第 20、21 個都是 3 → 中位數 = 3 [1M 定位 + 1A]

(b) 新均值 = (114 + 5) ÷ 41 = 119 ÷ 41 ≈ 2.90 → 上升（因為新值 5 > 2.85）[1A]；新中位數：41 個 → 第 21 個，查累積表仍是 3 → 不變 [1A]；標準差：5 遠離均值 → 數據更散 → 上升。

板書 ④（已排序含未知數）：9 個由小到大排列的數：4, 5, 7, 8, x, 10, 12, 13, 14，均值為 9。(a) 求 x。(b) 求中位數。
(a) 總和 = 4+5+7+8+x+10+12+13+14 = 73 + x [1M]；均值 9 → 73 + x = 9 × 9 = 81 → x = 8 [1A]（檢查：介於 8 和 10 之間 ✓ 排序仍成立）
(b) 9 個數 → 中位數 = 第 (9+1)/2 = 第 5 個 = x = 8 [1A]

▶ 第三關： Q12 圓方程 · Q13 多項式 · Q14 立體量度

板書 ⑦（比較係數）：p(x) = 3x³ + ax² + bx + 7 除以 x² + 2x − 1 時，商式為 3x − 2、餘式為 2x + 5。求 a 和 b。

p(x) = (x² + 2x − 1)(3x − 2) + (2x + 5) [1M 寫出恆等式]

展開：(x² + 2x − 1)(3x − 2) = 3x³ − 2x² + 6x² − 4x − 3x + 2 = 3x³ + 4x² − 7x + 2 [1M 完整展開]

加上餘式：p(x) = 3x³ + 4x² + (−7+2)x + (2+5) = 3x³ + 4x² − 5x + 7

比較係數：x² 項 → a = 4；x 項 → b = −5（常數項 7 = 7 ✓ 自我檢查通過）[1A + 1A]

板書 ⑧（因式定理 + 分解三次）：f(x) = x³ − 7x + 6。(a) 證明 x − 1 是 f(x) 的因式。(b) 把 f(x) 完全分解。
(a) f(1) = 1 − 7 + 6 = 0，∴ x − 1 是 f(x) 的因式 [1M 試根 + 1A ← 「∴」句必寫]
(b) f(x) = (x − 1)(x² + x − 6) [1M 除出商式] = (x − 1)(x + 3)(x − 2) [1A]

⚔ BOSS：一道 8 分題的滿分書寫全程

滿分卷面全文（右側 = 每行掙到的分）：

(a) 設 X 的斜高為 l cm。 ← 六誡②：新字母先「設」

π(14)l = 700π [1M] ← 曲面面積公式行，漏了這行 M 分即失

l = 700 ÷ 14 = 50 [1A]

設 X 的高為 h cm。 h² + 14² = 50² [1M] ← 勾股先寫方程，別直接冒出答案

h = √(2500 − 196) = √2304 = 48

∴ X 的高為 48 cm。 [1A] ← 六誡③④：單位 + 結論句

(b) 體積 = ⅓ × π × 14² × 48 [1M] ← ⅓ 在場！

= 3136π，∴ X 的體積為 3136π cm³。 [1A]

Y 的體積 = 3136π × (3/2)³ = 3136π × 27/8 = 10584π cm³ [1M] ← k³ 換算，免重算 l、h

3 × X 的體積 = 9408π cm³；∵ 10584π > 9408π，∴ Y 的體積超過 X 的 3 倍。 [1A] ← 比較行 + 結論句缺一不可

8 分裡有 4 個 M 分只要求「把方法寫出來」—— 這就是為什麼說過程書寫值半張卷。

⚔ 甲部(2) 中題 · 速查卡：

給分邏輯：M 分 = 方法寫出來就給（設式 / 公式 / 方程）；A 分 = 數值對才給。答案對過程爛照樣丟 M；過程全對算錯仍保 M。

Q10 變分：設 S = c + kn → 代兩組 → 聯立 → ∴。Q11 統計：均值 = Σ(值×頻)÷n；n 偶 → 第 n/2、n/2+1 個的平均，n 奇 → 第 (n+1)/2 個；加數據看「新值 vs 舊均值」和「位置移動」。

Q12 圓：圓心 (−D/2, −E/2)，r = √((D/2)²+(E/2)²−F)；點位置比 d 和 r。Q13 多項式：p(x) = 除式×商式+餘式 → 展開比較係數。Q14 立體：πrl → l → 勾股 h → ⅓πr²h；相似 k / k² / k³。

書寫六誡：一行一步 · 新字母寫設 · 帶單位 · ∴ 結論 · 除含字母先排零 · 劃改清楚。

P1 甲部(2)：中題攻略與過程書寫

🎉 第 3 節通關：你會寫「值錢」的解答了！